高等数学考试题及答案.pdf

第 1 页 共 12 页 高等数学 题号一二三四总分总分人复核人 得分 一一一一、单项选择题单项选择题单项选择题单项选择题（从下列各题四个备选答案 中选出一个正确答案， 并将其代号写在答题 纸相应位置处。答案错选或未选者，该题不得分。每小题 3 分， 共 30 分。 ） 1.曲线 3 3yxx=上切线平行于x轴的点是【】 A. . . .(1,2)B. . . .( 1,2)C. . . .(2,2)D. . . .(0,0) 2.下列等式中正确的是【】 A. . . .( )( ) d f x dxf xC dx =+ B. . . .( )( )df x dxf xC=+ C. . . .( )( )df x dxf x dx= D. . . .( )( ) d f x dxf x dx dx = 3.若( )f x在开区间( , )a b内可导， 12 ,x x是( , )a b内任意两点， 且 12 xx， 则至少存在一点，使下列等式成立的是【】 A. . . .( )( )()( ).()f bf aba fab= B. . . . 222 ()( )()( ). ()f xf axa fax= C. . . . 122112 ()()()( ).()f xf xxxfxx= D. . . . 212112 ()()()( ).()f xf xxxfxx=， 则【】 A. . . .当1p时收敛， 当1p时发散； B. . . .当1p时发散， 当1p时收敛； C. . . .无论p取何值都发散；D. . . .无论p取何值都收敛. 第 3 页 共 12 页 10. 把zox面上的抛物线 2 2 x z a =绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为 【】 A. . . . 2222 0 xayz+=；B. . . . 2222 0 xayz+=； C. . . . 2222 0 xayz+=；D. . . . 222 0 xya z+=. 二、二、二、二、填空题填空题填空题填空题（把答案填在题中的横线上，每 小题 4 分，共 20 分。 ） 11. 设函数 sin ,0 ( ),0 1, 0 x x x x f xax e x x = ， 要使函数在0 x=处连续，则 a=. 12.已知 x yxe=，则y(n)=. 13. 设 2 3 2 33 xtt ytt = = ， 则 2 2 d y dx =. 14.( )xfx dx= . 15. 设向量34amijk=+ 和47bimjk=+ ，当m=时，ab . 三三三三、解答题解答题解答题解答题（解答应写出文字说明或演算步骤， 本大题共6小题，每小题5分，共30分。） 16. 已知lim()4 x x xc xc + = ，求常数c. 得分 评阅人 得分 评阅人 第 4 页 共 12 页 17. 求由方程ln20 yx eaxy+=所确定的隐函数( )yy x=的微分. 18. 求积分 2 1 2 1( sin ) 1 x xx ex dx x + + + . 19. 设( )f x为连续函数，求满足下列条件的( )f x. 1 0 ( )2( )f xxf t dt=+ 第 5 页 共 12 页 20. 求 2 0 4 0 (1 cos) lim x x t dt x + . 21. 设直线L过点(1,2,3)A，且与一条已知直线 0 240 : 3290 xyz L xyz += += 平行，确定L的方程. 四四四四、应用题与证明题应用题与证明题应用题与证明题应用题与证明题（应写出求解或推理过 程， 本大题共2小题， 每小题10分， 共20分。 ） 22. 已知抛物线 2 ypxqx=+（其中0,0pq）在第一象限内与直线 5xy+=相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为.S （1）问p和q为何值时，S达到最大？并求出最大值. （2）求当S达到最大时，以该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V. 得分 评阅人 o 5 y x 5 5xy+= 第 6 页 共 12 页 23. 设( )f x在区间 , a b上连续，( )g x在区间 , a b上连续且不变号.证明 至少存在一点 , a b，使下式成立. ( ) ( )( )( ) bb aa f x g x dxfg x dx= 第 7 页 共 12 页 参考答案 一、选择题一、选择题一、选择题一、选择题(每小题 3 分，共 103=30 分) 1. 1. 1. 1.B2. 2. 2. 2.C3. 3. 3. 3.D4. 4. 4. 4.D5. 5. 5. 5.A6. 6. 6. 6.C7. 7. 7. 7.B8. 8. 8. 8.C9. 9. 9. 9.A10.10.10.10.D 二、填空题二、填空题二、填空题二、填空题(每小题 3 分，共 53=15 分) 11.11.11.11.1； 12.12.12.12. ( ) () nx ynx e=+； 13.13.13.13. 2 3 3(1 63 ) 4(1) tt t + ； 14.14.14.14. ( )( )xfxf xC+；15.15.15.15.4 三、三、三、三、求解下列各题题题题 (每小题 6 分，共 66=36 分) 16161616已知lim()4 x x xc xc + = ，求常数c. 解解 因为 2 2 22 2222 ()(1)(1)(1)(1) c x cx c c c xxc cc xccccc xcxcxcxcxc + + =+=+=+ （2 分） 所以 2 2 2 22 lim()lim (1)lim(1) c x c xcc c xxx xccc e xcxcxc + =+= 所以 2 4 c e=，ln2c= （5 分） 17171717 求由方程ln20 yx eaxy+=所确定的隐函数( )yy x=的微分. 第 8 页 共 12 页 解解对方程ln20 yx eaxy+=两边微分得 ln0 yx e dyaadxydxxdy+= （2 分） 所以()(ln) yx ex dyaay dx+= + 故当0 y ex+时， ln x y aay dydx ex + = + （5 分） 18181818求积分 21 2 1( sin ) 1 x xx ex dx x + + + . 解解因为 2 1 x x+ 是偶函数， 2 2 ,sin 1 x x ex x + 是奇函数（2 分） 所以 211 22 11 (sin ) 11 x xxx ex dxdx xx + += + 11 2 2 00 2 ln(1ln2 1 x dxx x =+= + （5 分） 19191919设( )f x为连续函数，求满足下列条件的( )f x. 1 0 ( )2( )f xxf t dt=+ 解解因为( )f x为连续函数，所以定积分 1 0 ( )f t dt 存在. 设 1 0 ( )f t dtc= ，则( )2f xxc=+ （2 分） 所以 第 9 页 共 12 页 1 1 2 0 0 1 ( )2(2 )2241 2 f xxxc dxxxcxxc =+=+=+ 从而有241xcxc+=+，所以， 1 2 c= 故( )1f xx= （5 分） 20202020解解 运用洛必达法则有 2 0 43 00 (1 cos) (1 cos )2 limlim 4 x xx t dt xx xx + = （3 分） 2 3 0 1 2 1 2 lim 44 x xx x + = （5 分） 21212121设 直 线L过 点(1,2,3)A， 且 与 一 条 已 知 直 线 0 240 : 3290 xyz L xyz += += 平 行，确定L的方程. 解解 0 L的方向向量 0 241 312 ijk s= 412124 77147(1,1,2) 123231 ijkijk =+=+= （3 分） 因为所求直线L与 0 L平行，所以，可取L方向向量(1,1,2)s= 故过点(1,2,3)A，以(1,1,2)s= 为方向向量的直线L方程为 3 12 2 z xy = 第 10 页 共 12 页 （5 分） 四、四、四、四、综合应用题(14 分) 22222222 已知抛物线 2 ypxqx=+（其中0,0pq） 在第一象限内与直线 5xy+=相切，且此直线与x轴所围成的平面图形的面积为.S （1 1 1 1）问p和q为何值时，S达到最大？并求出此最大值.（6 分） （2 2 2 2）求当S达到最大时，以此图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V（4 分） 解解 （1 1 1 1）根据题意，抛物线 2 ypxqx=+与x轴交点坐标为 1 0 x=， 2 . q x p = 2 0 () q p Spxqx dx =+ 3 32 2 0 . 326 q p pqq xx p =+= （3 分） 因直线5xy+=与抛物线 2 ypxqx=+相切， 故它们有唯一公共点. 由方程 组 2 5xy ypxqx += =+ 得方程 2 (1)50pxqx+=，其判别式必为零，即 2 (1)200qp=+= 从而得 2 1 (1) 20 pq= + 将代入式得 3 4 200 ( ). 3(1) q S q q = + o 5 y x 5 5xy+= 第 11 页 共 12 页 令 2 5 200(3) ( )0 3(1) qq S q q = + 得驻点3.q=当03q时，( )0S q 所以，( )H x，( )G x区间 , a b上连续、可导，且 ( )( ) ( )H xf x g x=，( )( )0G xg x=