高等数学下章节自测题不含答案.pdf

1 / 18 向量代数与空间解析几何自测题 一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1、已知a,b为非零向量，且|b-a |ba |=+，则必有： （ ） A、0=ba ; B、 0=+ba ; C、 0=ba ; D、 0=ba 2、设a,b,c为非零向量且2)(=cba，则=+)()()(accbba ( ) A、4; B、2; C、2 ; D、0. 3、直线 1 1 0 1 1 1 = = zyx 与平面042=+zyx的夹角为：( ) A、 6 B、 3 C、 4 D、 2 4、点) 1 , 1 , 1 (在平面012=+zyx的投影为: ( ) A、) 2 3 , 0 , 2 1 (; B、)0 , 1, 1 ( ; C、) 2 3 , 0 , 2 1 (； D、) 1, 1 , 0( 5、方程1 222 =+zyx表示 曲面，其对称轴为 ( ) A、单叶双曲面、x轴； B、双叶双曲面、x轴； C、单叶双曲面、y轴； D、双叶双曲面、y轴。 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1、过) 1, 2 , 1 (M且与直线 = = += 1 43 2 tx ty tx 垂直的平面方程是 2、设一平面过原点及点) 2 , 3, 6 ( 且与平面824=+zyx垂直，则此平面方 程是 3、曲面 22 2yxz+=可以由曲线 或 绕z轴旋转一周得到。 4、曲线 = =+ 2 22 1 xz yx 在yOz面上的投影为 2 / 18 5、点) 2 , 1, 3 ( P到直线 =+ =+ 042 01 zyx zyx 的距离 三、解下列各题（每题 10 分，共 40 分） 1、求直线 =+ =+ 0232 01 zyx zyx 的对称式方程和参数式方程。 2、化曲线的一般方程 =+ = 1) 1( 4 22 22 yx yxz 为参数方程 3、设一向量与x轴y轴夹角相等，而与z轴所成的角是它们的两倍，求该向量的 单位向量。 4、求直线 110 zyx =绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程。 四、解下列各题（前两题每题 12 分，最后一题 6 分） 1、求以直线 11 1 2 2 : zyx L= = + 为对称轴，半径为 2 的圆柱面方程。 2、求椭球面122 222 =+zyx的切平面，使其通过直线 11 1 2 1 = + = zyx 。 3、求： 22 yxz+=，1 22 =+ yx与0=z所围立体在三个坐标面上的投影。 多元函数微分法及其应用自测题 一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1、设)ln(),( 22 yxxyxf=（其中0, 0yx）则=+),(yxyxf( ) A、)ln(2yx ， B、)ln(yx，C、)ln(ln 2 1 yx，D、)ln(2yx 2、= + 11 3 lim 0 0 xy xy y x ( ) A、3， B、6 C、不存在， D、 （） 3 / 18 3、若0| ),( 00 = yx x f ，0| ),( 00 = yx y f ，则),(yxf在),( 00 yx( ) A、连续且可微， B、连续但不一定可微 C、可微但不一定连续 D、不一定可微也不一定连续。 ( ) 4、),(yxfz =在),( 00 yx处可微且0),(),( 0000 =yxfyxf yx 。则),(yxfz =在 ),( 00 yx处( ) A、无极值 B、可能有极值，也可能没有 C、有极大值 D、有极小值 （） 5、二元函数),(yxf在)0, 0(可微的充要条件是( ) A、0) 0 , 0(),(lim )0,0(),( = fyxf yx B、0 ) 0 , 0(), 0( lim ) 0 , 0() 0 ,( lim 00 = = y fyf x fxf yx C、0 )0 , 0(),( lim 22)0, 0(),( = + yx fyxf yx D、),(yxf在)0, 0(偏导数存在且连续 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1、=+ yx yx yx 1 sin 1 sin)(lim )0 , 0(),( 2、设f有一阶连续偏导数，),( 22xy eyxfz=，则=dz 3、设连续函数),(yxfz =满足0 ) 1( 22),( lim 22)1 , 0(),( = + yx yxyxf yx 则= ) 1 , 0( |dz 4、dt t t yxF xy + = 0 2 1 sin ),(，则 = )2 , 0( 2 2 | x F 5、 z y x u 1 )(=在) 1 , 1 , 1 (的梯度为 二、解下列各题（每题 10 分，共 40 分） 4 / 18 1、设 y x xz =，求 y z x z , 2、设)( 22 y z yzx=+，其中为可微函数，求 y z 3、求由方程组 =+ =+ yvu xvu 22 所确定的函数),(yxuu =的二阶偏导数 yx u 2 。 4、求由方程010422 222 =+zyxzyx所确定的函数的极值. 三、解下列各题（前两题每题 12 分，最后一题 6 分） 1、试证光滑曲面0),(=zyxzF所有切平面都与一固定的非零向量 平行。 2、已知xyyxyxf+=),(， 曲线3: 22 =+xyyxC， 求 ),(yxf在C上的最大 方向导数。 3、求0, 0, 0zyx时，函数zyxln3ln2ln+在球面 2222 6rzyx=+上 的极大值，并证明对任意实数cba,不等式 632 ) 6 (108 cba cab + 重积分自测题 一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1、设有空间闭区域0,| ),( 2222 1 +=zRzyxzyx， 0, 0, 0,| ),( 2222 2 +=zyxRzyxzyx则有( ) B、 = 21 4xdvxdv ， B、 = 21 4ydvydv ， C、 = 21 4zdvzdv ， D、 = 21 4xyzdvxyzdv 2、设有平面闭区域,| ),(ayxaxayxD= ,0| ),( 1 ayxaxyxD=，则=+ D dxdyyxxy)sincos( ) 5 / 18 A、 1 sincos2 D ydxdyx， B、 1 2 D xydxdy C、 1 4 D xydxdy， D、0 3 = y dxyxfdyI 1 0 1 0 ),(，则交换积分次序后=I( ) B、 = x dyyxfdxI 1 0 1 0 ),(， B、 = y dyyxfdxI 1 0 1 0 ),( C、 = 2 1 0 1 0 ),( x dyyxfdxI E、 + = 2 1 0 1 0 ),( x dyyxfdxI 4、 已知 = 1 0 1 0 )()(dxxxfdxxf， 0, 0, 1| ),(I B、0=hRhz围成。 2、是由平面1=+zyx与三个坐标平面所围成的空间区域，计算三 重积分 +dxdydzzyx)32(。 3、计算二重积分drdrrI D =2cos1sin 22 ，其中 1 0 , sec0| ),(=xrrD。 4、设是由半球面 22 4yxz=与旋转抛物面 22 3yxz+=所围空间闭 区域，求它的体积. 四、解下列各题（前两题每题 12 分，最后一题 6 分） 1、设 = 其它, 0 10, )()( xa xgxf，D是全平面。求二重积分 dxdyxygxfI D =)()( 2、设平面区域0, 0, 41 | ),( 22 +=yxyxyxD，计算： dxdy yx yxx I D + + = )sin( 22 。 3、设)(tf在R上连续，常数0a，区域2/| , 2/|),(ayaxyxD= 证明： dttatfdxdyyxf a a D =|)|)()( 。 7 / 18 曲线积分与曲面积分自测题 一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1、设有曲线1),(:=yxfL，),(yxf具有一阶连续偏导数，过二象限内点 M和四象限内点N，为L上连接MN的弧。 下列积分小于0的是： ( ) C、dsyxf ),(， B、dxyxf ),(，C、dyyxf ),(，D、dyyxfdxyxf yx ),(),(+ 2、已知 2 )( )( yx ydydxayx + + 为某函数全微分，则=a( ) A、3， B、-1 C、不存在， D、2 （D） 3、设是锥面 22 yxz+=被0=z和1=z所截部分的外侧，则曲面积分 =+dxdyzzydzdxxdydz)2( 2 ( ) C、 2 3 B、0 C、 2 3 D、 3 2 4、 曲面是上半球面：1 222 =+zyx， 1 是在第一卦限部分， 则( ) 8 / 18 C、 = 1 4xdsxds B、 = 1 4ydsyds C、 = 1 4zdszds D、 = 1 4xyzdsxyzds 5、设f有连续导数， +=zdxdydzdx y x f x dydz y x f y I)( 1 )( 1 其中是曲面 2222 8,zxyzxy=+=所围立体表面外侧，则=I( ) A、4 B、8 C、16 D、32 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1、 =+ =+ 0 : 2222 zyx azyx L，则=+ dszyx L )( 2 2、设C面积为S的有界闭区域的边界曲线，n为其外法线向量，则： =+ dsynyxnx C ),cos(),cos( 3、 =+ =+ dxxydxyx yx 2 1| 2 4、 =+ =+axzyx dSzyx 2 222 222 )( 5、已知曲面为1|=+zyx，则 =+dSyx|)|( 三、解下列各题（每题 10 分，共 40 分） 1、计算积分 = C xydxI，其中C为抛物线xy = 2 上从点) 1, 1 ( A到点 ) 1 , 1 (B的一段弧。 2、计算积分dsyx L + 22 ，其中L是圆周axyx=+ 22 。 3、计算 +dszyx)(，其中为上半球面 222 yxaz=。 4、计 算 曲 面 积 分 + + = 5 . 1222 )(zyx zdxdyydzdxxdydz I， 其 中是 曲 面 9 / 18 422 222 =+zyx的外侧。 5、 四、解下列各题（前两题每题 12 分，最后一题 6 分） 1、已知曲线的方程为, 2 22 = = xz yxz 起点为) 0 , 2, 0(，终点为 ) 0 , 2, 0( ，计算积分： dzyxdyyxzdxzyI L )()()( 2222 +=。 2、设P为椭球面1: 222 =+yzzyxS上的动点，若S在点P出的 切 平 面 与xOy面 垂 直 ， 求 点P的 轨 迹C并 计 算 曲 面 积 分 ds yzzy zyx I + + = 44 |2| )3( 22 ， 其中是椭球面位于曲线C上方的部分。 3、设为) 10( 4 1 2 2 =z y xz的上侧，计算曲面积分： +xydxdyzydzdxxzdydz32。 10 / 18 无穷级数自测题 一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1、设a为常数，则级数 2 1 ) 1( n na n n + = ：( ) B、发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、敛散性与a的取值有关 2、部分和数列有界是正项级数收敛的( ) A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件 3、幂级数 = 12 ) 1( ) 1( n n n n n x 的收敛域为：( ) B、 3 , 1 B、 3 , 1( C、) 3 , 1 D、) 3 , 1( 4、设 n n n n u ) 1(1 ) 1( + =， ! n n v n n =，则: ( ) B、 n u收敛， n v发散; B、 n u发散， n v收敛; C、 n u发散， n v发散； D 、 n u收敛， n v收敛 5、设 n u是数列，则下列正确的是 ( ) B、 n u收敛蕴含)( 212 + nn uu收敛 B、)( 212 + nn uu收敛蕴含 n u收敛 C、 n u收敛蕴含)( 212 nn uu收敛 D、)( 212 nn uu收敛蕴含 n u收敛 五、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11 / 18 1、已知级数 = + 1 12 nn nn 收敛，则取值的最大范围是 2、级数 = = + 1)2)(1( 1 nnnn 3、数列 n a单调递减趋于零， = = n i in aS 1 无界，则幂级数 n n n xa) 1( 1 = 的收敛 域为 。 4、设常数1a则= =1n n a n 5、将 43 1 )( 2 = xx xf展开成) 1( x的幂级数时它的收敛区间为 三、解下列各题（每题 10 分，共 40 分） 5、求级数 = + + 0 12 ) 12( n n xn的和函数。 6、求幂级数 n n x nn ) 1( ) 1( 1 1 + = 的和函数 7、将函数 43 1 )( 2 = xx xf展开成) 1( x的幂级数，并指出收敛区间 8、求 )21 () 1( 2 )( 2 2 xx x xf + + =的幂级数展开式，指出其收敛域。 9、 四、解下列各题（前两题每题 12 分，最后一题 6 分） 1、判别级数 =+ 2) 1( ) 1( n n n n 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散） 2、 设数列, nn ba满足 2 0 , 2 0 所围成的立体表面外侧. 5判定级数 2 ln ( 1)n n n n = 是否收敛,如果是收敛的,是绝对收敛,还是条件收敛? 14 / 18 三解下列各题： （共三解下列各题： （共 35 分）分） 1. (10 分)已知e, ty yx=+而t是由方程 222 1+=ytx确定的, x y的函数,求 d . d y x 2. (10 分)在曲面 222 2(1)(1) (0)=+zxyz上求点 1111 ( , ),P x y z使点 1 P到原点O 的距离为最短,并证明该曲面在点 1 P处的法线与向量 1 OP平行. 15 / 18 3. (8 分)计算曲面积分 2 2(1)d d8d d4d d ,xy zxy z xzx x y + 其中是由xOy平面上 的曲线e (0) y xya=绕x轴旋转而成的旋转面,它的法向量与x轴正向的夹角 大于 . 2 4. (7 分) 求级数 2 2 1 (1)2n n n = 的和. 期末复习卷二 一一.填空题： （每小题填空题： （每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1设向量()2, 1, 5= a,()1,0, 4=b,则 =ab_. 2 ()() () ,2,0 sin lim x y xy y = _. 3设z =e xy ,则 ()2,1 d | z= . 4平面260 xyz+=与平面250 xyz+=的夹角为_. 5设 2 2uxyz=, 则u在()2, 1,1处的方向导数的最大值为_. 6 设D是 由1xy+=及 两 坐 标 轴 围 成 的 闭 区 域 , 则 16 / 18 d d D xx y = . 7设L为 22 1xy+=取逆时针方向, 则 d L y x = _. 8设为球面 222 1xyz+=, 则 () 2 1 dxS +=