随机过程-第四章2ppt课件

.,3.时间连续状态离散的马氏过程,一、定义,转移概率函数,.,.,pij(s)=pij(t，t+s)=PX(t+s)=j|X(t)=it0，s0,我们只讨论时齐马氏过程，以后不再说“时齐”二字。,.,.,.,7绝对概率被初始概率和转移概率所确定,.,.,定义：过程X(t)，t(0，+)状态有限E=1，2，N,.,9转移密度矩阵（速率（度）矩阵，也称Q矩阵）,称为马氏过程的速度函数或由状态i转移到状态j的转移概率密度。,.,上面两个定义是一样的,qij表示在单位时间内，由状态i转移到状态j的平均概率。,.,说明：（qii是跳离i的转移密度）,.,注：qii表示在单位时间内跳离i的平均概率，而不是在单位时间内停留在i的概率。,（3）速率函数的性质,qii0，i=1，2，N,qij0iji，j=1，2，N,下面介绍pij(t)满足的微分方程组及其求解。,.,.,注意：二个方程都是关于pij(t)的线性微分方程组，各包含(N+1)2个方程，,.,可通过解方程组加初始条件求也可通过拉氏变换求解。,.,介绍负指数分布的无记忆性。,.,.,应用举例：一般步骤：,1.写出状态转移矩阵，并画出状态转移图,(1)定义系统状态,要保证所定义的状态是能区分系统的的各种不同状态，,如：系统工作（1），系统故障（0）.E0，1。,（2）定义随机过程，,.,2求转移速率矩阵,.,1.(1)1表示系统在工作，0表示系统故障.E0,1,分布特点，负指数分布无记忆性，知它是马氏过程。,.,(3)马氏过程曲线图状态转移图,系统工作1，系统故障0。,.,独立性机器的各次运转期相互独立，各次修复时间也相互独立，,.,.,故障工作,每一行之和等于1,.,2.求速率函数。,速率矩阵,每行之和0,.,四个方程组，可求出其中两个，问题可解,.,求解柯尔莫哥洛夫向前方程,代入上面甲式,.,可以得到,.,可以用拉氏变换求解,.,将系数代入各项，且写成部分分式形式,.,.,4.求过程在时刻t的状态概率分布。,.,例3目的：考察一个服务窗口前顾客排队的情况。,第一步：定义X(t)，写出P(t),.,负指数分布函数,.,.,.,第二步求Q速率矩阵,注意：Q每行之和是0,.,速率矩阵为,3.柯尔英哥洛夫向前方程见书P212,4.求P（t）？,.,.,2.当马氏过程有遍历性时,.,四.独立增量过程P215,是m1个相互独立的r.v.，那么称X(t)是独立增量过程,.,注：此定义并不要求过程的状态是离散的。,如：关于电话交换站的例子。X（t）是平稳独立的增量过程。,22.定理：若X(t)，t0，+)是状态离散的平稳独立增量过程，则它是时齐马氏过程。证明：见P215。,.,4泊松过程及其性质,一、概念P206例1.是以电话呼叫过程为例建立Poisson过程的数学模型。,（1）X(0)=0,(2)X(t)是平稳独立增量过程；,.,.,2Poisson过程的数学模型,.,普通性：在充分小的时间间隔内来到的呼叫数最多只有一次。,3.推证方法：推证法一：书P206例1推证法二：介绍,.,以上两个公式刻划了泊松过程。,.,(1)用Laplace变换求解泊松方程。,.,.,3两个定义是等价的P217定理1证明,以上两种定义中的条件是（1）是相同的，只是条件（2）不同。,定义一是从宏观上给出增量的概率分布，,.,.,.,实用上，经验证满足上述模型的四个条件，可用泊松过程来描述。,.,.,.,.,.,.,独立的泊松过程之和仍是泊松过程，此结论可以直接用。,.,.,.,四计数过程与泊松过程,1定义三,.,由定义出发，可知任一计数过程应满足下列条件：,(1)N(t)是一个非负整数，,.,.,P218直观看法,P219定理证明,.,3.Poisson过程的到达时间与点间间隔分布,.,.,五泊松过程与均匀分布的关系,.,.