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导数的应用（三）导数的应用四、曲线的凹凸性曲线的凹凸性是描述函数形状的一个更深入的概念。几何解释曲线（1）上任意两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)之间的弦上的点位于曲线相应点的下面，即曲线在弦之上；曲线（2）则相反，曲线在弦之下。观察与思考（1）观察切线与曲线的位置关系。（2）观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系。（1）凹曲线位于其任一点切线的上方；凸曲线位于其任一点切线的下方。（2）凹切线斜率单调递增；凸切线斜率单调递减。定义3.2.4 曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点。讨论：结论（1）在拐点(x0, f(x0)处f (x0)=0或f (x0)不存在。 （2）只有f (x0)等于零或不存在，(x0, f(x0)才可能是拐点。（3）如果在x0的左右两侧f (x)异号，则(x0, f(x0)是拐点。注意（1）拐点一定是f (x)=0或不存在的点，但是f (x)=0或不存在的点不一定都是拐点。（2）拐点是曲线上的点, 从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示，不能仅用横坐标表示。这与驻点及极值点的表示方法不一样。曲线凹凸性判定定理定理3.2.5 设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数。若在(a，b)内f (x)0，则f(x)在a，b上的图形是凹的；若在(a，b)内f (x)0，则f (x)在a，b上的图形是凸的。 拐点的判定：若曲线y=f(x)在点x0连续，f (x0)=0或不存在，f (x)在x0两侧异号，则点(x0, f(x0)是曲线的一个拐点求曲线凹向区间和拐点的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）在定义域内求 f (x)=0的点和f (x)不存在的点；（3）用上述点划分定义域，并列表判别函数的凹凸性。【例】讨论曲线的凹向区间与拐点。网校答案：五、曲线的渐近线定义3.2.5 若曲线L上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与一条定直线C的距离趋于零，则称直线C为曲线L的渐近线。当C垂直于x轴时，称C为曲线L的垂直渐近线；当C垂直于y轴时，称C为曲线L的水平渐近线。（1）水平渐近线（2）垂直渐近线六、函数的分析作图法作函数y=f(x)图象的一般步骤为：（1）确定函数y=f(x)的定义域，分析函数的奇偶性、周期性；（2）求函数的一阶导数，二阶导数，并求出一阶导数、二阶导数为零的点及导数不存在的点；（3）列表求函数的单调区间、极值，确定函数的凹凸区间和拐点；（4）求曲线的渐近线；（5）求曲线上一些特殊点，根据函数的性态，结合描点，作图。（3）列表（4）曲线有水平渐近线y=0，无垂直渐
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