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第一讲全等三角形的性质及判定（一）一、要点提示1、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够相互重合的顶点、边、角分别叫做对应的顶点、对应边、对应角。全等符号为“”。2、组成全等三角形的基本图形：（1）平移型：如图所示（对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到）（2）轴对称型：如图所示（重合的顶点就是全等三角形的对应顶点）。（3）旋转型：如图所示。它们可以看成以某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对应顶角、某些角的和或差中。3、全等三角形的性质：对应角相等对应边相等对应边上的中线相等对应边上的高相等对应角的角分线相等4、全等三角形的判定方法：（1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。（4）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两具直角三角形全等。已知一边一角 边为角的对边找任意一角AAS边就是角的一条边找这条边上的另一角ASA找这条边上的对角AAS找该角的另一边SAS已知两边找夹角SAS找直角HL找另一边SSS找两角的夹边ASA找任意一边AAS已知两角5、判定三角形全等的基本思路：6、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。7、主要考点：能通过判定两个三角形全等，进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等，是几何证明的基础，进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。二、全等三角形的判定公理1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)。例1已知：如图，12，ABAD。 求证：ABCADC 变式 已知，如图，等腰ABC与ADE中，,且.求证：BECDA12思考:将上图中的ACB绕点A沿顺时针方向旋转,上述结论是否成立?例2 已知CE=CB，1=2，AC=DC，求证：ABCDEC2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)。例3 已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：ABCDEF； 变式:已知:如图,ABCD,ADBC,求证:(1)AB=CD (2)B=D:3、角角边推论(AAS)有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)。例4已知M是AB的中点，1=2，C=D， 求证： AMCBMD；例 5.已知：BC，BECF， 求证DEDF A F ED B C变式:求证:三角形的一边两端到这边的中线或中线延长线的距离相等4、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。BCDEFA例6 已知：如图。A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证： ABCDEF 变式:已知,如图,在ABC中,M在BC上,D在AM上,AB=AC,DB=DC求证:MB=MC注：SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)。例7已知：BECD，BE=DE，BC=DA，求证： BECDAE DFBC变式:已知,如图,AD为ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CDBCDEFA求证:BEAC6、针对两个三角形不同的位置关系，总结出寻找对应边，对应角的规律：有公共边的，公共边一定是对应边；有公共角的，公共角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角）；一对最短的边（或最小的角）是对应边（角）全等三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；全等三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角对应角。三、角平分线1.角平分线的定义。 (1)如果以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线称作这个角的平分线。 (2 )角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 2角平分线的性质定理和逆定理。(1)性质定理：在角平分线上的点到这个角两边的距离相等。已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E；求证：PD=PE。(2)逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE。求证：点P在AOB的平分线上。 证明：3三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三条边的距离相等。4互逆命题与互逆定理定义在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题称作互逆命题，如果把其中一个称为原命题，那么另一个则称为它的逆命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么-B也是一个定I必有逆定理。注意：1、任何一个命题都有逆命题；2、任何一个定理来必有逆定理定理逆定理在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上A1EOD2GH例8 已知：如图，ODAD，OHAE，DE交GH于O（1） 若1=2，求证：OG=OE（2） 若OG=OE，求证：1=2变式:已知:如图,在ABC中,AD是BAC的平分线,DEAB于E,DFAC于F ,求证:ADEF一）、补充条件型试题【例题1】如图，已知ACB=DBC，要使ABCDCB，只需增加的 一 个条件是_.（只需填写一个你认为合适的条件即可）【练习】如图，已知，在ABC和DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使ABCDCB，则还需要增加的一个条件是_. 如图，D在AB上，E在AC上，且B=C，那么补充下列一个条件后，仍然无法判断ABEACD的是 （ ） A. AD=AE B. AEB=ADC C. BE=CD D. AB=AC二）、组合条件型试题【例题2】如图，在ABC和DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，加以证明. AB=DE；AC=DF；ABC=DEF；BE=CF. 【练习】1.如图，给出下列三个式子：EC=BD；BDA=CEA；AB=AC请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：如果，那么），并给出证明. 2如图110，ABBC，ABEECD判断AE与DE的关系，并证明你的结论3已知：如图45，ABAE，ADAC，EB，DECB求证：ADAC4已知：如图46，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.5已知：如图55，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求证：EDAC6已知：如图56，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求证：ABDC.7已知：如图68，AC与BD交于O点，ABDC，ABDC（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OEOF.课后作业1已知：如图31，AB、CD相交于O点，AOCO，ODOB求证：DB分析：要证DB，只要证_证明：在AOD与COB中， AOD_ （ ） DB （_）2已知：如图32，ABCD，ABCD求证：ADBC分析：要证ADBC，只要证_，又需证_证明： ABCD （ ）， _ （ ），在_和_中， _ （ ） _ （ ） _（ ）2已知：如图41，