020年湖北省高三（４月）线上调研考试文数

书书书 年湖北省高三（ 月） 线上调研考试 文 科 数 学 试 卷 本试卷共 页， 题（ 含选考题） 。全卷满分 分。考试用时 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 考试过程中， 请考生自觉遵守考试纪律等相关规定， 诚信应考， 不得有作弊、 泄露试题等行为。请家 长做好监考工作。 请确保网络环境、 考试环境良好， 备好答题所用的白纸和笔。 登录好分数 ， 点击“ 作业测试” ， 进入对应考试科目。“ 试卷” 将根据考试时间准时显示。开考 后， 考生首先在白纸上手写答题。答题结束后， 点击“ 填写答题卡” ， 进入到“ 在线答题卡” 。将事先准备好 的答案， 填写至在线答题卡上（ 选择题、 多选题及判断题， 直接在“ 在线答题卡” 上勾选答案； 主观题按照要 求将手写的答案竖向拍照， 并分别上传） ， 然后点击“ 提交答题卡” 完成提交。答题卡上传提交后考试时间 范围内还能继续提交覆盖， 为了避免大家都在考试最后快结束的时间上传造成拥堵， 建议提前上传。 备注： 主观题要确保答案及照片清晰、 干净、 完整； 为留取拍照时间， 考试将延长 分钟。 此次全省联考是检测复课前线上备考成效的一次重要考试， 有利于调整和优 化复课后备考策略， 请考生和家长高度重视。考试结束后， 考试组织方将为所有考生 免费提供 考试成绩和学情分析报告 。请考生或家长及时扫描右方二维码， 关注“ 育 路通” 微信公众号。依次点击“ 高考测评查看报告” ， 即可免费查询。 一、 选择题： 本大题共 小题， 每小题 分， 共 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的 已知集合 ， 集合 ， 则 （ ， ） 已知 （ ， ） ， 其中 为虚数单位， 则复数 在复平面内对应的点在 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 已知 ， ， ， 则 已知平面向量 ， 均为单位向量， 若向量 ， 的夹角为 ， 则 槡 若不等式 对 （ ， ） 恒成立， 则实数 的最大值为 年湖北省高三（ 月） 线上调研考试文科数学试卷 第 页（ 共 页） 某城市在进行创建文明城市的活动中， 为了解居民对“ 创建文明城” 的满意程度， 组织居 民给活动打分（ 分数为整数， 满分 分） ， 从中随机抽取一个容量为 的样本， 发现所 给数据均在 ， 内 现将这些分数分成以下 组并画出样本的频率分布直方图， 但 不小心污损了部分图形， 如图所示观察图形则下列说法中有错误 獉獉的是 第三组的频数为 人 根据频率分布直方图估计众数为 分 根据频率分布直方图估计样本的平均数为 分 根据频率分布直方图估计样本的中位数为 分 我国著名数学家华罗庚先生曾说： “ 数缺形时少直观， 形缺数时难入微， 数形结合百般好， 隔裂分家万事休 ” 在数学的学习和研究中， 常用函数的图像研究函数的性质， 也常用函 数的解析式来琢磨函数的图像特征 如函数 ， ， 的图象 大致为 函数 （ ） 槡 （ ） （ ） 的单调增区间为 ， ， ， ， ， ， ， ， 已知 是抛物线 的焦点， 过焦点 的直线 交抛物线的准线于点 ， 点 在抛物 线上， 且 ， 则直线 的斜率为 槡槡槡 已知函数 （ ） ， ， ， 若存在 ， ， 且 ， 使得 （ ） （ ） 成立， 则实数 的取值范围是 （ ， ） （ ， （ ， ） （ ， 平面四边 形中， ， 槡 ， 槡 ， ， ， 则四边形 的面积为 槡槡槡 槡 年湖北省高三（ 月） 线上调研考试文科数学试卷 第 页（ 共 页） 已知双曲线 ： （ ， ） 的左右焦点分别为 ， ， 过 的直线与 的两 条渐近线分别交于 ， 两点， 若以 为直径的圆过点 ， 且 为 的中点， 则双曲 线 的离心率为 槡槡槡 二、 填空题： 本大题共 小题， 每小题 分， 共 分 设曲线 上点 处的切线平行于直线 ， 则点 的坐标是 已知 为锐角， 且槡 （ ） ， 则 已知 ， ， 是球 球面上的三点， ， 槡 ， 且四面体 的体积为 ， 则球 的表面积为 自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来， 湖北某市医护人员和医疗、 生活物资严重匮 乏， 全国各地纷纷驰援 某运输队接到从武汉送往该市物资的任务， 该运输队有 辆载重 为 的 型卡车， 辆载重为 的 型卡车， 名驾驶员， 要求此运输队每天至少运 送 物资 已知每辆卡车每天往返的次数为 型卡车 次， 型卡车 次， 每辆卡车 每天往返的成本 型卡车 元， 型卡车 元， 则每天派出运输队所花的成本最 低为 三、 解答题： 共 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 题 第 题为必考 题， 每个试题考生都必须作答 第 题 第 题为选考题， 考生根据要求作答 （ 一） 必考题： 共 分 （ 本小题满分 分） 已知函数 （ ） （ ） 的图像经过点 （ ， ） 和 （ ， ） ， （ ） （ ） 求 ； （ ） 设数列 的前 项和为 ， （ ） 槡， 求 的前 项和 年湖北省高三（ 月） 线上调研考试文科数学试卷 第 页（ 共 页） （ 本小题满分 分） 年春节期间， 新型冠状病毒（ ） 疫情牵动每一个中国人的心， 危难时刻 全国人民众志成城， 共克时艰， 为疫区助力 我国 省 市共 家商家及个人为缓解湖北 省抗疫消毒物资压力， 募捐价值百万的物资对口输送湖北省 市 （ ） 现对 家商家抽取 家， 其中 家来自 地， 家来自 地， 从选中的这 家中， 选出 家进行调研， 求选出 家中 家来自 地， 家来自 地的概率 （ ） 该市一商家考虑增加先进生产技术投入， 该商家欲预测先进生产技术投入为 千 元的月产增量 现用以往的先进技术投入 （ 千元） 与月产增量 （ 千件） （ ， ， ， ， ） 的数据绘制散点图， 由散点图的样本点分布， 可以认为样本点集中在曲线 槡 的附 近， 且 珋 ，珋 ，珋 ， （ 珋 ） ， （ 珋 ） ， （ 珋 ） （ 珋 ） ， （ 珋 ） （ 珋 ） ， 其中 槡 ，珋 ， 根据 所给的统计量， 求 关于 回归方程， 并预测先进生产技术投入为 千元时的月产增量 附： 对于一组数据（ ， ） （ ， ） ， 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法 估计分别为 （ 珔 ） （ 珋 ） （ 珔 ） ，珋 珔 （ 本小题满分 分） 如图， 在四棱锥 中， 侧面 为钝角三角形且垂直于底面 ， ， 点 是 的中点， ， ， （ ） 求证： 平面 平面 ； （ ） 若 ， 求三棱锥 的体积 （ 本小题满分 分） 已知椭圆 ： （ ） 过点 （槡 ， ） ， 其左、 右顶点分别为 ， ， 左、 右焦点 为 ， ， 其中 （槡 ， ） （ ） 求椭圆 的方程； （ ）设 （ ， ） 为椭圆 上异于 ， 两点的任意一点， 于点 ， 直线 ： ， 设过点 且与 轴垂直的直线与直线 交于点 ， 证明： 直线 经过线 段 的中点 年湖北省高三（ 月） 线上调研考试文科数学试卷 第 页（ 共 页） （ 本小题满分 分） 已知函数 （ ） （ ） 求函数 （ ） 的奇偶性， 并证明当 时函数 （ ） 只有一个极值点； （ ） 当 时， 求 （ ） 的最小值； （ 二） 选考题： 共 分 请考生在 ， 题中任选一题作答 如果多做， 则按所做的第一题计 分 作答时写清题号 选修 ： 坐标系与参数方程 （ 分） 在平面直角坐标系 中， 曲线 的参数方程为 （ 为参数） ， 以原点为 极点， 轴非负半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为 （ ） 求曲线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程； （ ） 若直线 ： 与曲线 、 曲线 在第一象限交于 ， ， 且 ， 点 的 直角坐标为（ ， ） ， 求 的面积 选修 ： 不等式选讲 （ 分） 已知实数 ， 满足 （ ） 求 的取值范围； （ ） 若 ， 求证： 年湖北省高三（ 月） 线上调研考试文科数学试卷 第 页（ 共 页） 1 22020 年湖北省年湖北省高三（高三（4 月）线上调研考试月）线上调研考试 数学数学（文科）（文科）参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 1-12ABDCCCBACADB 二、填空题二、填空题 13.（0,2）14. 6 5 15. 13616. 9600 11.解析：解析： 如图如图 0 150ABC3,13,23CDABBDACBCAB 在在ABC中，由余弦定理中，由余弦定理ABCBCABBCABACcos2 222 得得) 2 3 ( 2 3 2) 2 3 (13 22 ABABABAB 所以所以2AB，3BC，由于，由于 000 6090150ABDABCDBC. 在在ABC中，由余弦定理中，由余弦定理DBCBCBDBCBDCDcos2 222 可得可得 2 1 9323 2 BDBD ，所以，所以32BD或或3（舍）（舍），则四边形，则四边形 ABCD 的面积的面积 2 37 2 3 332 2 1 322 2 1 sin 2 1 2 1 DBCBCBDBDABSSS BCDABD 12.方法一：由题意知方法一：由题意知OFOFABAF 211 ,，故，故OBFAOF 21 ，又由对称性知，又由对称性知 21 BOFAOF，故，故OBFBOF 22 ，所以，所以 2 BFOB ，又，又BFBF 21 ，所以，所以 21 OFOFOB，所以，所以 2 OBF为等边三角形，即为等边三角形，即 0 2 60BOF，则过第一、三象限的，则过第一、三象限的 渐近线斜率渐近线斜率3tan 2 BOFk，双曲线双曲线 C 的离心率为的离心率为 211 2 2 2 k a b a c 方法二：不妨设点方法二：不妨设点)0)(,(m a bm mB，故，故 a bm mcBF a bm mcBF, 21 2 因为以因为以 21F F为直径的圆过点为直径的圆过点 B， 所以所以0 21 BFBF， 从而从而0 2 22 22 a mb cm， 解得解得am 故故),(baB，又，又 A 为为BF1的中点，故的中点，故 2 , 2 bca A，代入，代入x a b y可得可得 22 ca a bb 解得解得ac2，故双曲线，故双曲线 C 的离心率为的离心率为 2. 16.解析：设每天派出解析：设每天派出 A 型卡车型卡车 x 辆，辆，B 型卡车型卡车 y 辆，运输队所花成本为辆，运输队所花成本为 z 元，则元，则 * 0808 0606 1010 651042403424 , xx yy xyxy xyxy x yNx yN 目标函数目标函数12001800zxy,画出满足条件的可行域画出满足条件的可行域, 由图可知，当直线由图可知，当直线12001800zxy经过点经过点 A 点（点（8,0）时使）时使 z 取得最小取得最小 值，即值，即 min 1200 8 1800 09600z 故每天只派故每天只派 8 辆辆 A 型卡车运输，所花成本最低，最低成本为型卡车运输，所花成本最低，最低成本为 9600 元元. 17.解：（解：（1）由题意得）由题意得 2)5(log 1)2(log 3 3 ba ba ，解得，解得 1 2 b a 4 分分 所以所以 * 21, n annN5 分分 （2）由（）由（1）易知数列）易知数列 n a为以为以 1 为首项，为首项，2 为公差的等差数列为公差的等差数列 所以所以 n S= 2 (1) 2 2 n n nn ，7 分分 所以所以 nn S n nnnnnn b n 2 2 11 2 )2( 2 2 )2( 2 9 分分 21 )21 (2 2 11 1 1 1 1 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 n n nnnn T 2 1 )2)(1( 32 2 1 nn n n 12 分分 18.（1）由题意可知，）由题意可知，A 地地 2 家分为家分为 12 ,A A，B 地地 3 家分为家分为 123 ,B B B 所有的情况为：所有的情况为： 121122123 (,),(,),(,)A A BA A BA A B， 112113123 (,),(,),(,)A B BA B BA B B， 3 212213223123 (,),(,),(,),(,)A B BA B BA B BB B B，共，共 10 种情况种情况 其中其中 A 地地 1 家，家，B 地地 2 家的有家的有 112113123 (,),(,),(,)A B BA B BA B B， 212213223 (,),(,),(,)A B BA B BA B B共有共有 6 种，所求的概率为种，所求的概率为 63 105 p . 6 分分 （2）由6.8,t 563,y 8 1 108.8, ii i ttyy 8 2 1 1.6 i i tt ， 有 8 1 8 2 1 108.8 68 1.6 ii i i i ttyy b tt ，且，且 563 68 6.8100.6aybt， 所以所以 y 关于关于 x 的回归方程为的回归方程为100.668yx， 当当49x 时，年销售量时，年销售量 y 的预报值的预报值100.668 49576.6y 千千件件 所以预测先进养殖技术投入为所以预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量为千元时的年收益增量为 576.6 千千件件12 分分 19.(1)证明：取证明：取 BC 中点中点 E，连接，连接 DE，设，设 AB=AD=a,BC=2a, 依题意得，四边形依题意得，四边形 ABED 为正方形，且有为正方形，且有 BE=DE=CE=a, BD=CD=2a， 222, BDCDBC则则BDCD， 又平面又平面SCD 底面底面 ABCD，平面，平面SCD底面底面 ABCD=CD,， BD平面平面 SCD平面平面 MBD底面底面 ABCD5 分分 (2)解：过点解：过点 S 作作 CD 的垂线，交的垂线，交 CD 延长线于点延长线于点 H，连接，连接 AH， 可证可证 DH 为斜线为斜线 SD 在底面在底面 ABCD 内的射影，内的射影， SDH为斜线为斜线 SD 与底面与底面 ABCD 所成的角，即所成的角，即60SDH 由由（1 1）得，得，2SDCDa，在在Rt SHD中，中， 26 2 , 22 aa SDa HDSH M 到平面到平面 ABCD 的距离的距离ad 4 6 . 三棱锥三棱锥MBDC 的体积的体积 3 12 6 4 6 22 6 1 2 1 3 1 aaaadCDBDVV BCDMMBDC 12 分 20.（1）由题意，由题意， 41)22(1)22(2 2 21 EFEFa H E 4 2,2, 2bca 故椭圆的方程为故椭圆的方程为 22 1 42 xy 4 分分 （2）由由（1）知知 2,0 ,2,0AB 过点过点A且与且与x轴轴垂直垂直的的直直线的方程为线的方程为2x ， 结合方程结合方程 00 240 x xy y，得点得点 0 0 2 2, x P y 直线直线PB的斜率的斜率 0 00 0 2 0 2 224 x yx k y 则则直直线线PB的方程为的方程为 0 0 2 2 4 x yx y . 因为因为MNAB于点于点N，所以所以 0,0 N x ，线段，线段MN的中点坐标为的中点坐标为 0 0, 2 y x 令令 0 xx，得得 2 00 0 00 24 2 44 xx yx yy 因为因为 22 00 24xy，所以所以 22 000 00 2 442 xyy y yy ， 所以所以直线直线PB经过线段经过线段MN的中点的中点 0 0, 2 y x .12 分分 21.解：（解：（1）由于）由于)( xf =)(xf函数函数)(xf为偶函数为偶函数2 分分 ( )2sin ,(0)0fxxax f，故只需讨论，故只需讨论0 x 时情况，时情况，0,x 由三角函数性质知由三角函数性质知 sin ,2,2sin ,( )0 xxaxaxfx，0 x时，时，f( (x) )单调递增，单调递增， 由偶函数性质知由偶函数性质知0 x时，时，f( (x) )单调递减，单调递减， 故故2a 时函数时函数 f（x）只有一个极小值点）只有一个极小值点 x=0=05 分分 （2）由由 （1） 知只需求知只需求, 0 x时时)(xf的最小值的最小值.xxxfsin2)( ,当当 2 , 0 x时时， 设设xxhxxxhcos2)(,sin2)( ，而，而0) 2 (, 0) 0( hh， 由零点存在性定理，存在唯一的由零点存在性定理，存在唯一的 2 , 0 0 x，使得，使得0)( 0 xh 当当0)(), 0( 0 xhxx，)(xh单减，当单减，当0)(), 2 ,( 0 xhxx ，)(xh单增，单增， 5 0 0 (0,)x 0 x 0 (,) 2 x 2 (,) 2 ( )h x-0+ ( )h x=( )f