汕头市金山中学2015届高三上学期期中考试(理数)

汕头市金山中学2015届高三上学期期中考试数学（理科）本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第卷 （选择题 共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合，则=（ ）A B C D2已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3函数周期为，其图像的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是（ ）A B C D4设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是（ ）A B C D5方程的根存在的大致区间是（ ）A B C D6已知向量的夹角为，且，则（ ）A B C D7已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A B C D8设向量，定义一种向量积：已知向量，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是（ ）A2 B C D 4第卷 （非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共小题，作答小题，每小题5分，共30分.)（一）必做题（913题）9函数的定义域为 。第10题图10图中阴影部分的面积等于 11已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是 。第12题图12如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 13已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立，则实数的取值范围为 。（二）选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）14（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，则= 。第14题图15（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为(为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为 。三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：0000（1）请写出上表的、，并直接写出函数的解析式；（2）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小.第16题图17（本小题满分12分）设函数（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中，角的对边分别为若，求的最小值。18（本小题满分14分）已知函数，图象与轴异于原点的交点处的切线为，与轴的交点处的切线为，并且与平行。（1）求的值；（2）已知实数，求的取值范围及函数的最值。19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）数列中，令，求；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数20（本小题满分14分）如图，已知抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心在轴的正半轴上，圆与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交直线于点，交圆于不同的两点，且。（1）求圆和抛物线的方程；（2）若为抛物线上的动点，求的最小值；第20题图（3）过直线上的动点向圆作切线，切点分别为，求证：直线恒过一个定点，并求该定点的坐标21（本小题满分14分）已知函数，是常数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围；（3）证明：，存在，使理科数学参考答案一、选择题（40分）题号12345678答案CDACBDBD二、填空题（30分）（一）必做题（913题）9； 10； 11； 12； 13（二）选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）14； 15三、解答题（80分）16（本小题满分12分）解：（1）， 3分 6分（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数 7分因为、分别为该图像的最高点和最低点，所以8分所以 9分10分 11分所以12分法2：法3：利用数量积公式 ，。17（本小题满分12分）解：（1）3分的最大值为 4分要使取最大值， 故的集合为 6分注：未写“”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分.（2）由题意，即化简得8分，只有，9分在中，由余弦定理，10分由知，即，11分当时，取最小值12分注：不讨论角的范围扣1分.18（本小题满分14分）解：（1）图象与轴异于原点的交点， 1分图象与轴的交点， 3分由题意可得， 即 4分 ， 5分， 6分（2），当时， 7分在单调递增， 8分图象的对称轴，抛物线开口向上 10分由有，即函数在上单调递增 11分 12分 13分 综上：当时，； 14分19（本小题满分14分）解：（1），1分又当时，3分所以 4分（2）， ，5分 6分， 9分（3）解法一：由题设10分时，时，数列递增12分，由，可知，即时，有且只有个变号数；又，即，此处变号数有个13分综上高考资源网，数列共有个变号数，即变号数为。14分解法二：由题设10分时，令；又，时也有13分综上高考资源网得：数列共有个变号数，即变号数为。 14分20（本小题满分14分）21（本小题满分14分）解：（1）1分， 2分函数的图象在点处的切线为，即4分（2）时，因为，所以点在第一象限，依题意，5分时，由对数函数性质知，时，从而“，”不成立 6分极小值时，由得，设，从而， 8分综上所述，常数的取值范围 9分（3）直