芝诺悖论产生的历史背景_中学数学知识的历史背景.doc

中学数学知识的历史背景数学史课程的学习，是为了帮助中学数学教师或将来的数学教师更科学、更有效地开展中学数学教学。而如今中学数学教师的一个重要任务是如何适应并积极地推动中学数学课程的改革。所以在本课程的学习中，学员们也有必要密切关注、认真研究新课程中与数学史相关的一些基本理念以及教学内容。因而，本学习指导中也补充了一些新课程改革方面的内容，以及义务教育数学课程标准、高中数学课程标准中新增加的一些教学内容，如“中国剩余定理”、“数论与密码技术”等。这些材料也是中学数学教师需要认真学习并加以掌握的。第1章 HPM的理论与实践现在的课程改革开始重视对数学史的利用，高中数学课程标准中就安排了数学史方面的学习内容。体现数学文化是新课程的一个重要特色，而数学史便是数学文化的一个重要组成部分。国外的中学数学教材都比较重视数学史、数学发现的故事、数学家的故事等这些素材的使用。如：太极图在德国教材中、曹冲称象在日本数学教材中出现。日本的中学数学教材特别重视数学史，中学三年级教材中就有：无理数的故事、二次方程的故事、圆周率的故事、勾股定理的证明、值的测定、黄金分割、伽利略与概略等许多数学历史故事，日本人认为，重视数学史的处理，有利于促使学生形成数学的思维方法并使之认识到数学的优越性。我国原教材中：侧重用来进行爱国主义教育，且介绍极为简单，勾股定理、祖冲之的圆周率、扬挥三角等，教材中都是一笔带过。新教材有了明显的变化，国内外各种数学发展的史料增加了不少，如何合理使用便是中学数学教师需要研究的问题。如教材中所述，对数学史在数学教育中的重要作用，国内外的一些大数学家和数学教育家有许多精辟的阐述。还成立了专门研究数学史与数学教育的国际研究机构HPM，从而极大地推动了将数学史知识应用于中学数学教学的理论和实践研究。数学史知识在中学数学教学中的作用主要体现在如下方面（1）增加人文价值，增加教材的趣味性和可读性，从而激发学生学习数学的兴趣；（2）数学发现发展的历史包含着丰富的数学思想，学生了解一些数学史，有助于拓宽视野、领会这些数学思想；（3）激励作用。数学家对真理的执着探索过程，有助于培养学生的意志、健全学生的人格。教师学习一定的数学史知识，一方面可以在施教中丰富题材、另一方面也有助于教师本身对数学思想方法和数学本质的理解。同时，数学教育改革必然也受着数学发展的影响，数学史知识也有助于对数学教育改革的理解。李文林在数学史教程中写了这样一段话：“数学科学作为一种文化，不仅是整个人类文化的重要组成部分，而且始终是推进人类文明的重要力量。对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说，数学史是必读的篇章。”自然，对于一个从事中学数学教育的专业人员，数学史知识的学习就更是非常必要的了。张奠宙先生在数学教育学导论一书中概括了数学发展的四个高峰期（1）古希腊的演绎数学时期；（2）牛顿-莱布尼茨的微积分时期；（3）希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；（4）以计算机技术为标志的新数学时期。进而分析了四个高峰时期的特征，第一高峰期是演绎思想占主导地位，第二高峰期是算法思想占主导地位，第三高峰期又是演绎思想占主导地位，第四高峰期则再是算法思想占主导地位。事实我们长期使用的中学数学教材，带有相当强的形式主义特征，是第三高峰期的产物，很少反映20世纪数学发展的特征，因而极有必要进行改革。显然，数学史知识的学习能帮助我们更好地理解当前的数学课程改革。算法化是以中国为代表的东方古代数学的主要特征，演绎化则是以古希腊为代表的西方古代数学的主要特征。演绎化、算法化是数学发展不可或缺的两个方面，在数学发展中交替地占据主导地位。但是，长期以来，我们的中学数学教育过度地关注了演义思想而严重忽视了算法思想。新课程标准在高中数学教学内容中特别安排了算法思想的学习，这是十分必要的。那么如何在中学数学中进行算法思想的教学呢？数学史能给我们以很好的启迪并提供丰富的素材。中国古代算法思想非常接近于现代算法思想，因此具有一般算法思想的各种教育价值除此之外，基于中国古代算法思想的特征，其对本民族的数学教育而言，还有着特别的教育价值，即体现数学课程的民族性、培养学生的应用意识、促进学生对现代算法思想的理解等我们可以从以下诸方面来理解中国古代算法思想的特征：（1） 体现数学课程的民族性英国课程论专家豪森（GHowson）指出：“一个民族的历史和文化，会在数学学习对本民族的重要性以及数学课程变革的必要性等问题上形成一种传统观念，从而影响学校数学课程的发展” 民族文化的保存与传递能够激发学生的爱国主义热情、提高民族的自尊心与自信心因此，数学课程必须结合自己的文化传统实施，数学课程应该具有本民族文化传统的特点我国数学课程一贯重视宣传我国的数学成就和中国古今数学家的伟大贡献但是这些内容往往被当作具有爱国主义教育意义的历史知识，而与现代数学知识的交融并不深入中国古代的算法思想既是中国传统数学的精髓，同时又具有现代算法思想的所有特征，如果能选择一些典型的中国古代算法内容作为中学数学的学习内容，必将能使民族文化传统与现代数学知识具有更好的交融性，因而能更深入地体现我国数学课程的民族性比如“中国剩余定理”便是一个很好的素材中国古代算书孙子算经中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数三、三数之，剩二；五、五数之剩三；七、七数之，剩二问物几何？ 这实际上是求解一次同余式组的问题后来，南宋大数学家秦九韶在其著作数书九章中，给出了这类问题的一般性解法，即“大衍总数术”（也称孙子定理）该方法传到西方后，被西方数学家称为“中国剩余定理”该定理用现代符号形式叙述就是，其中两两互质，则其中最关键的一步是求使秦九韶先求出除以的余数（称为奇数），则上面的问题等价于求使，但此处秦九韶提出了一种他称为“大衍求一术”的方法来解决这一同余式的求解问题 列出算阵，然后交替进行如下一、二两步的操作（1）右下角除以右上角，余数留在右下角，商与左上角相乘加入左下角；（2）右上角除以右下角，余数留在右上角，商与左下角相乘加入左上角这样重复操作，直至右上角为1时，左上角之数即为所求的值之一（若右下角先出现1，则右上角除以右下角时，规定余数为1，商为被除数减1）例 求最小的正整数N使解M=315、，所以；，所以；同理求得最小的正整数N=2327-3157=122上述“大衍求一术”的实质与西方的“辗转相除法”相同，但该方法具有更强的程序性，只要用一个简单的循环语句，就很容易在计算机上进行这种计算程序性和构造性正是中国古代数学的显著特征之一，而且解一次同余式组的一般方法“大衍总数术”为秦九韶所首创将这样的内容引入中学数学，能使爱国主义、民族精神的培养与数学知识、数学思想方法的学习更好地融合（2） 培养学生的数学应用意识强调学生数学应用意识的培养是现代数学教育的重要特点应用是中国古代数学的特征之一，中国古代数学中的算法也是明显地来自于现实、用之于现实所以中国古算素材也是培养学生数学应用意识的极好素材比如中国古代最早的算书周髀算经实际上是一本天文著作，系统地记载了周秦以来为适应天文计算的需要而逐步积累起来的算法技术该书所最早叙述的勾股定理，便是以解决实际问题的方式提出的书中写道，陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”在这里，勾股定理一般形式实际上是以天文计算中的一种算法出现的九章算术则更是以应用问题集的形式编排全书共分9章，叙述了246道应用问题及它们的解法内容涉及土地面积计算、比例分配、工程计算等许多应用领域例如，该书“方程”章，第1题便是有关粮食收成的计算问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？题中“禾”为带杆的黍米，“秉”指捆，“实”是打下来的粮食设一秉上、中、下等的禾分别能打下粮食x、y、z斗，则问题就相当于解一个三元一次方程组 “方程术”的关键算法是“遍乘直除”即先将三个方程的系数排列成三行（当时的行相当于现在的列），得图1左 中 右上禾 1 2 3中禾 2 3 2下禾 3 1 1实 26 34 39 图1解法步骤为：以右行上禾秉数，即3，遍乘中行各元素，然后逐次减去右行对应各元素，直到中行第一个元素出现0为止，对左行作同样的变换，得图2；以中行第一个不等于0的元素，即5，遍乘左行后，逐次减去中行对应的元素直至左行第二个元素为0，并对左行约分，得图3；然后继续变换直至图4 0 0 3 0 0 3 0 0 4 4 5 2 0 5 2 0 4 0 8 1 1 4 1 1 4 0 039 2 39 11 24 39 11 17 37 图2 图3 图4于是得上禾一秉实数x=斗，中禾一秉实数y=斗，下禾一秉实数z=斗该方法正是西方国家一千多年后才出现的“高斯消去法”九章算术中如此先进的方法依然来自于实际问题解决的需要（3） 促进学生对现代算法思想的理解中国古代数学中的“术”符合现代算法的一些最主要的特征，包含着一般算法的操作过程以及顺序、选择、循环等各种控制结构因此，让学生适当地接触并分析一些中国古代的算法，能很好地促进学生对现代算法思想的理解一般认为算法含有两大要素：一是操作，包括算术运算、逻辑运算、关系运算、函数运算等；二是控制结构，其作用是控制算法各操作的执行顺序算法通常所具备的三种控制结构是顺序结构、选择结构和循环结构算法的特征则可归纳为“五性”，即可行性、确定性、有穷性、有效性和普遍性中国古代数学的核心就是各种各样的“术”这里的“术”就是一种算法，类似于现在所讲的数学“公式”，但又与公式不完全相同比如，一元二次方程（）的求根公式，给出的是当时可以将、的值代入以求得方程的解这样的公式只是静态地给出了结果，而对于计算过程的每一步具体如何操作，却并未加以说明相反，中国古代数学中的“术”则明确地指出了每一步计算的具体操作方式，是一种动态的算法描述我们以九章算术中的“约分术”为例来分析其特征约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也以等数约之比如约分先求分子分母的最大公约数按约分术，“可半者半之”是指如果分子分母都能被2整除，就先取半得“不可半者，副置分母子之数，以少减多”是指如果两个数中有一个不能被2整除，则将两数分列，大数减小数（用较少的数从较多的数中减去）得91-49=42“更相减损，求其等也”是指对减数和所得的差再大数减小数，不停地减直至减数和所得的差相等，即49-42=7、42-7=35、35-7=28、28-7=14、14-7=7得等数为7，该等数便是分子分母的最大公约数然后“以等数约之”便得结果从以上过程可以明显看出“术”的操作性特点，且易发现“术”体现了一般算法的“可行性、确定性、有穷性、有效性和普遍性”等特征而且“可半”“不可半”的选择明显是算法中的“选择结构”，“更相减损”则是算法中的“循环结构”，至于“顺序结构”则是不言自明的所以中国古代数学中的“术”是一种真正意义上的算法，符合现代算法思想的一般特征让学生分析这样的“术”能较好地促进对现代算法思想的理解算法的学习需要学生“通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环”中国古代数学中大量的应用问题，为算法的学习提供了丰富的案例这些案例及计算过程，深刻地揭示了现代算法思想，是学生模仿、操作、探索的极佳的素材同时这些问题及算法的背景，能够较好地激发学生的民族情绪，这一点对学生理解现代算法思想也是有着很好的促进作用的数学史中象算法这样能为数学教育提供丰富素材的内容是非常多的，这里就不一一赘述了。第2章 代数一、三次方程求根与复数、群论的诞生在欧洲文艺复兴时期之前，世界数学的中心是印度和阿拉伯数学，阿拉伯数学家花拉子米的代数学被认为是“近代初等代数学”的开端，该书被翻译成拉丁文后，对欧洲代数学的发展产生了极大的影响。（因为该书探讨的是问题的一般解法其中有二次方程解法的几何解释所以激起了人们探讨方程的一般解法的兴趣。）15世纪，人们认为三次、四次方程的一般解法问题与化圆为方问题一样难以解决。1515年前后，意大利波伦亚大学的数学教授费罗（Ferro，14651526）发现了形如（m，n0）的三次方程的一般解法。按当时的风气，学者之间常常进行一些学术性的比赛，比如解方程比赛，所以自己的最新研究成果肯定是要保密而不公开的。费罗把自己的解法秘密传给他的学生费奥（Fior）。1535年，意大利另一位数学家塔塔利亚（原名Fontana，绰号Tartaglia意思是口吃者）也宣称自己能解形如（m，n0）的三次方程。费奥不相信，便向塔塔利亚挑战，要求各自解出对方提出的30个三次方程。比赛在米兰大教堂公开举行，结果塔塔利亚大获全胜，很快解出了两种类型的所有30个方程，而费奥只能解出一种类型的方程。塔塔利亚获胜后仍然保守秘密，后来，一位教书行医于米兰的学者卡尔丹（Cardano，15011576）再三请求并答应保密，于是，塔塔利亚便把解法传给了卡尔丹。但卡尔丹在1545年出版的著作大法中公布了这些解法。许多人认为卡尔丹不守信用，但卡尔丹注明了解法是塔塔利亚告诉他的，而且他将方法推广到一般的三次方程，并给出了几何证明。而事实上这一公式的公开对数学发展产生了积极的作用。三次方程解决后不久，意大利数学家达科伊向卡尔丹提出一个四次方程的问题，卡尔丹未能解决，但由其学生费拉里（Ferrari，15221565）解决了，其解法也被卡尔丹写进了大法中。三次方程求根的基本思路是：二次：（消一次项，令x=y-b/2a）三次：（消二次项，令x=y-b/3a）在中，令x=y+z，则若则上式成立，即解方程 得，所以三次方程的一个解是 三次方程求根公式的公布，对数学的发展起了很大的推动作用。对教学也具有一定的启发作用。例如对虚数概念的教学，如果用传统的方法，由于方程在实数集内无解，为解决这一矛盾需扩充数集而引入虚数的概念，那么学生虽然也能从形式上接受这一概念，但在思想上却往往难以消除对引入这一新概念的必要性与合理性的困惑。如果在教学中先向学生介绍虚数概念产生和发展的历史，就可能消除学生的这种困惑。事实上，虚数概念正是来源于数学家们使用卡尔丹公式时发现的一种奇怪现象，那就是当时公式中出现了负数的平方根。比如对于方程，容易知道它有一个根，据此不难求得另外两个根是和。但是用卡尔丹公式却得到方程的一个根是，于是数学家们困惑了，一个明明有着三个实根的三次方程，用卡尔丹公式进行计算时却包含着一个“不存在”的根。后来，人们把、这些负数的平方根当成是普通的数一样参与运算，这样就有，于是原来那个“不存在”的根便化为，卡尔丹公式计算的结果又与实际情况相符了。这一现象使数学家们在遇到类似情况时都把形如的算式当成普通的数进行运算。虽然人们在科学计算中大量地使用形如这类数，却始终不承认它们是真正的数，为此笛卡尔还特别称这种数为“虚数”，意思是虚无而不存在的数。直到19世纪高斯等人，将形如的数称为复数，并把它与直角坐标系中的点联系起来，使得这种数有了直观的解释。高斯首先在代数基本定理的证明中使用了复数，后来复数又在电学、几何、声学等许多自然科学和应用科学中发挥了巨大的作用。凭借着高斯的崇高威望及自身的广泛应用性，复数概念才被普遍接受。复数概念的发展中，如下一些史实值得关注：18世纪，由于微积分运算中经常要用到复数，从而推动了复数理论的发展。但虚数的本质究竟是什么，仍是数学家们困惑的难题。欧拉试图理解这一问题，但他还是认为：“它们就其本性来说是不可能的数，因而通常叫做虚数或幻想中的数，因为它们只存在于想象之中。”1707年法国数学家棣莫弗（16671754）提出后来称为棣莫弗公式的关系式。1748年欧拉证明了上述公式，同年给出公式。1777年欧拉用i（imaginary虚幻）表示虚数单位。1788年丹麦数学家韦塞尔（1745-1818）建立了复平面，将每个复数对应一个由原点出发的向量，并用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算。1811年高斯提出可用点表示，并于1831年阐述了复数加法与乘法的几何意义。韦塞尔、高斯等人仅仅提供了复数的直观解释，数学家还需要建立复数的逻辑基础。1837年，英国数学家哈密尔顿指出，不是2+3意义上的和，而只不过是有序实数偶，i在复平面上可表示（0，1）。哈密尔顿的定义，可以直接用实数演绎出复数。他用实数偶给出了复数四则运算的定义，如在这种定义下，运算的交换律、结合律、分配律等都可以通过实数的运算律推导出来，于是复数理论的逻辑基础终于在实数的基础上牢固地建立起来。在教学中，通过对复数产生和发展史及复数广泛应用性的简单介绍，可以使学生消除对虚数概念的神秘感和接受这一概念的心理抵抗情绪，从而以较高的热情学习复数知识。美国UCSMP教材（芝加哥大学编）引入复数概念时就用了这样一段文字：“复数术语的第一次使用一般归功于高斯（Carl Friedrich Gauss，17771855），他还将复数应用于电学上。20世纪以后逐步发现复数在几何和声学中的应用。新的应用继续被发现，从1975年开始，一个全新的领域动态系统出现，复数起着中心作用。这个领域又辐射出绚丽多姿的计算机生成图画学，其在艺术比赛中屡获殊荣。”在解出三、四次方程后的整整两个半世纪里，很少有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性。但是，所有寻求这种解法的努力都失败了。历史上，第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”的数学家是拉格朗日。拉格朗日在1770年发表的关于代数方程解的思考一文中，指出五次及五次以上的方程不可能有象三、四次方程那样的一般解法。拉格朗日试图对此作出证明，但经过顽强的努力也无法解决（据说他写了长达200页的论文，仍未能把问题说清楚）。他无奈地说：“这个问题好象是向人类智慧的一种挑战”。1824年，挪威的一位年轻数学家阿贝尔（22岁）在一本小册子论代数方程，证明一般五次方程的不可解性中，严格证明了如下事实：如果方程的次数n大于或等于5，并且把系数看成字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根。（即证明了五次及五次以上的方程不可能有一般解法）阿贝尔还考虑了一些能用根式求解的特殊方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。（阿贝尔只活了27岁。他一生贫病交加，但留下了许多创造性贡献。除方程论外，他还是椭圆函数的创始人之一，不过这些工作在他生前均未受重视。阿贝尔大学毕业后长期找不到工作，1829年，柏林大学终于认识到了他的才华，决定任命他为教授，但当聘书寄到的时候，阿贝尔由于肺结核已在两天前去世了。）在阿贝尔之后，数学家所面临的一个问题就是：什么样的特殊方程能够用根式来求解？解决这个问题的是法国的年轻数学家伽罗瓦，他在18291831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件。在这个问题的论述中，伽罗瓦实际上建立了“群”的理论，当然伽罗瓦用到的只是一种特殊的群，即置换群。伽罗瓦因决斗而死时还不到21岁。二、自然数幂和公式在教学上的应用现行高中数学教材中，最早出现自然数平方和公式是在高二球体积公式的推导中，这里只是用到了公式的结果，其证明则是在高三学习数学归纳法时完成的这样的安排，自有编者的意图和理由，但在实际教学中根据教学对象等方面的具体情况，作一些灵活的调整，应该也是教师的权利和责任以下关于自然数平方和公式的研究性学习设计，选自中学教研2005年赵晓娟老师的一篇论文，列在此处作为参考。1 归纳猜想“我们已经知道了前n个自然数和的公式，那么前n个自然数的平方和该如何求呢？据记载，早在公元前3000年左右，巴比伦人曾求出了前10个自然数的平方和，而在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式你们也能得到这一公式吗？” 笔者这样开场以激起学生对该问题的研究兴趣，并顺手在黑板上写下了=？多数学生觉得可以先依次算出前几项的和，再探求规律看来，学生们已经比较普遍地习惯于用探索归纳的思想去研究未知事物了然而眼前的问题却难住了学生，这里的规律实在不容易看出来这时需要教师的合理化建议了，“希尔伯特曾经说过：数学的生命力就在于各部分之间的广泛联系，这对大家有什么启发吗？我们研究的问题是从什么问题引出来的？”“自然数的一次和对，我们把这两个和的前几项写到一起看看”有学生这样提议，于是大家共同构造了下面这张表n12345一次和1361015二次和15143055停顿几分钟，让学生去作自己的思考是很有必要的果然，有学生发现，一次和与二次和之间的那条表格线很象分数线，把它们当成分数并约分后依次为：，“把分子都化成3，分母是递增的奇数！”发现这一规律的学生表现得异常兴奋至此，得出如下猜想便顺理成章了：=这个结论成立吗？笔者告诉学生，到高三我们会学习一种用来证明象这一类由归纳而得到的结论的有效方法，叫数学归纳法然而现在有证明的办法吗？2 探索证明为了使学生的探索目标较快形成，笔者作了适当的启发引导，所以可以看成个相加的结果，于是所求和式等于下面的三角形数阵中所有数字的和： 12 2 3 3 3 n n n n学生的思维开始活跃，出现了各种不同的想法比较一致的意见是，各斜对角线上的数字构成等差数列，可以先求各等差数列的和于是=，由此可求得 上面的方法体现了化归的思想，即将二次和化归为一次和加以处理继续观察前述的三角形数阵，一个非常优美的数字列表，由此产生的解法却很是复杂，是否预示着以上数阵还隐藏着某种玄机，值得进一步研究？在笔者的鼓励下，学生们从n=3时的特殊情形开始了对数阵的进一步研究 1 2 2 3 3 3学生们都觉得这是一个非常漂亮的正三角形，那么能否借助正三角形的性质来研究这个数阵的特性呢？经一番讨论，大多数同学认为最值得注意的是正三角形的对称性由于正三角形的三个顶点具有同等地位，可尝试着将三个顶点依次在上、左下、右下这三个位置上轮流转换，即将正三角形数阵进行相应的旋转，得如下三个数阵 1 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 2 1 1 2 3由此，学生们欣喜地发现如果将这三个数阵重叠到一起，使同一位置上的三个数字相加，便得到一个每个位置上的数字均为7的三角形数阵于是得，接着，这种方法的一般化便是自然之举了一个n行的三角形数阵中含有的数字个数是，三个相应的数阵叠加后每个位置上的数字均为，所以这种方法的获得使全体同学兴奋不已，所有学生都感受到了数学美的震撼力3 趣法欣赏在学生们经历了特别的激动之后，笔者介绍了一种数形结合的方法，以开阔学生的视野如图1，将、分别看成1个、4个、9个、个单位立方体的体积，并将这些立方体从上到下按第1层1个、第2层4个、第3层9个、第n层个堆叠到一起，摆放时使上一层几个立方体下底面所构成的正方形，处于下一层几个立方体上底面所构成正方形的中心于是所求的和便是所有这些单位立方体的体积和，亦即如下几何体的体积图1 以该几何体上底面中心为顶点、下底面为底面作一正四棱锥，设该四棱锥体积为、四棱锥外的几何体体积为，则=+，且易知几何体处于该正四棱锥外的部分，第k层四周除角上的单位立方体外，其它单位立方体均被截出如图2所示的一个三棱柱，该三棱柱的体积为如果将四个角也算在内，则第k层共有4k个这样的三棱柱，n层所有这些三棱柱的体积和为 图2图3但是这样一来，在每层四个角上的单位立方体中，相邻两边上的两个三棱柱的公共部分被重复计算了两次这个公共部分便是如图3所示的小四棱锥，其体积为n层所有这些小四棱锥的体积和为于是 ，=自然数平方和公式的推导有许多种方法，上面的方法对这个和给出了一种有趣的几何解释，构思新颖、解法独特，作为欣赏，别有韵味4 课后研究在结束课堂探索及解法介绍之后，笔者建议同学们在课后就此问题作进一步的探讨在其后的几天时间里，不少同学饶有兴趣地研究着这一问题，常有同学带着他们的想法及探索过程来与笔者探讨这其中不乏创新之处，本文仅介绍两例例一 由联系的观点出发，在一次和公式的右边发现含有，于是将该等式变形得，即亦即（当然，该同学自己也发现了，上面的推理所得出的等式其实是一看就知道成立的但这种通过相关的已知结论去探寻未知问题的思维方式还是很值得肯定的）这样便有此处方括号中的数列和该如何求呢？在笔者的启发指导下，该同学发现，将通项式变形得，就有=，因此 例二 对笔者在课堂上介绍的体积求法，有学生作出了改进，使求解过程简单了许多P将各层的单位立方体在一个角上对齐，形成如下的图4图4图5图6 在图4所示的几何体中，以上底面左后方顶点P为顶点、下底面为底面的直四棱锥体积为在该直四棱锥外，每层前、右两侧面的单位立方体中，除右前角的这一个之外，每个单位立方体均被截出如图5所示的一个直三棱柱，其体积为而每层右前角的单位立方体被截出的则是如图6中一个小直四棱锥外的部分，该部分的体积为所以5几点体会以上的教学过程中，虽然学生探索出的方法均是早就存在的老方法，但对学生本身来说这仍是一种创新按现代教育心理学的观点，创新性学习即指在旧知识的学习中获得新知识、在原有方法的学习中发现新方法（对学习者而言）的一种学习形式在这一过程中，学生经历了归纳、猜想、验证、探索、证明的过程，并获得失败与成功的体验，这正是新课程所倡导的数学学习方式的一种实现形式在以上探索过程中，教师的引导起了十分关键的作用，似乎不完全是学生的“自主学习”，所获得的结果似乎也不完全是学生的“再创造”但任何自主学习都需要教师的合理指导，任何再创造都离不开教师的有效指导，这正如弗赖登塔尔所说的：“力求用发生的方法来教学，并不意味着必须完全按照知识的发展顺序，甚至连走过的弯路与死胡同都不加删除地教而是设想那时如果有教师已经知道了我们现在所知道的东西，应该如何去发现，就象看得见的人可以告诉盲人如何去创造和发现” 当然，在教学过程中，教师的主导作用应该发挥到何种程度是与学习材料的困难程度及学生的认知能力密切相关的从原则上说，教师所提的问题应处于学生的“最近发展区”内，即既要有一定的深度又要符合学生的实际水平研究性学习是当前数学教育中一个十分热门的话题，但教师们往往会觉得缺乏合适的研究性学习的素材自然，一些新颖而富有时代特征的素材应该是研究性学习的好材料，这样的素材确实比较缺乏；然而，一些传统的数学问题经适当的组织后同样可以成为研究性学习的不错的素材，这样的素材却大量存在于我们的数学学习材料当中，本文所述的便是这样一个例子三、计算技术与对数16、17世纪数学上最重要的任务就是各种计算，这是因为，当时的工程技术、地理探险、海洋贸易、天文知识等各个方面都需要大量的科学计算。这就对计算技术的改进提出了需要。这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是为简化天文、航海方面的一些繁杂的计算。1614年苏格兰贵族数学家纳皮尔（J.Napier,15501617）在名为奇妙的对数定理说明书的小册子中,阐述了对数方法。他考察一个点P沿直线段AB(长度为a=107)的运动，其速度在每一点P处正比于剩余距离PB=y；再假定另一点Q沿无穷直线CD匀速运动，其速度等于P点在A处的速度，CQ=x；令P、Q同时分别从A、C出发，那么定义x是y的对数。ACBDPQyxACBD严格地说，动点的速度应随着它离开A点的距离而连续变化，因而需要用微积分才能真正表达。若考察某一小段时间t（比如把总时间n等分），都是P点在t时刻内通过的距离，而Q点在t时刻内通过的距离都相等。设初速度（P点在A处的速度），在段上，速度所以，所以，记，则，时，xnx，yny，0，于是所以。此处用了时，e，对数的实用价值很快为纳皮尔的朋友、伦敦格雷沙姆学院几何学教授布里格斯所认识，他与纳皮尔合作，采用y=10x，这样x=x1+x2时得到y=y1y2，并编出了对数表。这就是今天的常用对数。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，拉普拉斯称赞道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命。”随着计算机的高度普及，对数简化计算的功能逐渐消退，但对数函数作为描述现实世界的一种模型，其作用还是巨大的。一般认为，指数函数提供了一种快速增长的模型，如人口增长等，而对数函数则提供了一种缓慢增长的模型，如信息量的计算等。第3章 平面与立体几何一、古希腊的几何理论（一）背景知识希腊文明时间为公元前2000年到公元600年，但有资料可查的是从公元前600年到公元600年间。所以现在所讲的希腊文明一般指公元前600年到公元600年间，地中海沿岸，包括希腊半岛、爱琴海区域、马其顿、意大利半岛、小亚细亚（土耳其）一带，以及非洲北部（埃及等）等一大片区域的文明。公元前8世纪，古希腊开始进入奴隶制社会。公元前430年雅典奴隶主民主派领导取得了希波战争的胜利，建立了奴隶主民主共和国雅典。此后，希腊各城帮之间不断发生战争，直到公元前332年马其顿王亚历山大大帝征服了希腊的许多城帮，在埃及建立了亚历山大里亚城，形成一个庞大的帝国。习惯上，把亚历山大帝国以前的几百年，称为古希腊的前期。原属希腊北部的马其顿人在击败雅典以后，在亚历山大大帝统帅下侵入小亚细亚，进占埃及，在埃及建立了亚历山大里亚城（首府），而且还征服了巴比伦一直到印度河流域。公元前323年亚历山大死去，亚历山大帝国分裂为三个部分，分别由希腊将领安提哥那（欧洲部分）、塞流卡斯（亚洲部分）和托勒密（埃及部分）统治。其中，托勒密帝国最为兴盛，直至公元前31年被罗马占领。这三百年是古希腊的后期，在世界史上称为希腊化时期。公元前6世纪，罗马还是一个较小的奴隶主城帮，后逐渐强大，于公元前146年征服希腊本土，公元前31年占领了埃及。罗马的奴隶主贵族热衷于政治、权力、财富，对科学文化不感兴趣。公元前47年，凯撒大帝在纵火烧毁停泊于亚历山大里亚港的埃及舰队时，焚毁了该城的图书馆，使该馆在两个半世纪以来收藏的几十万份手稿和图书付之一炬。由于这些社会原因，罗马时代的科学发展缓慢。四世纪末，罗马帝国分为两部分，统治意大利、西欧的是西罗马帝国，统治希腊、埃及和近东的是东罗马帝国（又称拜占庭帝国）。公元640年新崛起的阿拉伯民族征服了东罗马的埃及，征服者奥马下令焚毁了亚历山大里亚残留的书籍，其理由是：“这些书的内容或者是可兰经里已经有的，那样的话我们不需要去读它们；或者它们的内容是违反可兰经的，那样的话我们不该去读它们。”从此，欧洲社会进入漫长的中世纪。不过，古希腊文明并没有被灭绝，在漫长的中世纪里，希腊文明仍在艰难的环境中流传，并且在欧洲文艺复兴的年代又发扬光大起来。古希腊初期的文化要比巴比伦、埃及低，由于一批希腊学者去巴比伦、埃及和其他东方国家游学，吸取了别国的文化成果，促成了希腊文明的快速发展。在希腊科学文化名人中，泰勒斯（约公元前624547年）访问过埃及，并根据埃及人的土地测量经验创立了演绎几何学，而且还在美索不达米亚学到了巴比伦人的天文学。毕达哥拉斯不但到过埃及，而且在巴比伦住过几年，在那里研究天文学、占星术、数学和音乐，后来到意大利半岛的希腊殖民城帮组织了有名的学术团体毕达哥拉斯学派，这个团体在科学方面人才辈出，并且传了七代至十代。泰勒斯的学生阿那克西曼德（约公元前610546年）是从巴比伦人那里把日晷引入到希腊的。柏拉图（约公元前427347年）也曾为求知到埃及旅行。古希腊学者对天文学、气象学、力学和数学作出了成绩。据希腊资料记载，泰勒斯首先提出了几何学的一些定理并预言过一次日蚀；阿那克西曼德首先认识到天空围绕北极星旋转；毕达哥拉斯学派证明了直角三角形的勾股定理。古希腊早期的自然科学往往是于哲学交织在一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测。恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽。因此，如果理论自然科学想要追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史，它也不得不回到希腊人那里去。”（自然辩证法P30-31）古希腊自然哲学中的一些值得注意的知识：（1）关于天体系统的模型问题：阿那克西曼德认为地球是一个圆筒，被太阳、月球诸天体层层包围。毕达哥拉斯学派断言，地球、天体和整个宇宙是一个圆球，一切天体都作均匀的圆周运动，因为球形和圆是最完善的几何体。欧多克斯（公元前409356）则提出地球中心说，认为地球是不动的，日月星辰都绕地球运行。他是第一个把几何学与天文学结合起来的人，建立了一个同心球宇宙几何模型，地球位于中心，日月和五大行星及恒星分别在一些透明的同心球壳层上围绕地球均匀旋转。行星的运动由四个大小不等的同心球的复合运动所致。而整个宇宙中的同心球共有27个。继承他的工作的是柏拉图的另外两个学生卡利浦（约公元前370300）和亚里士多德（公元前384322年），前者把同心球增加为34个，后者把它增加到55个。这个模型能够解释日食和月食，但对行星的运动变化不能很好解释，不过用数学和几何方法表示天体运动的目标是正确的。（2）关于运动和时间、空间：巴门尼德（约公元前500年左右）反对万物流动的观点，他认为世界上只有不生、不灭、不变的存在。他的学生芝诺（出生于公元前495480年间）认为，尽管人们在感觉中感知到各种各样的运动，但“真实的存在”则是统一的、不动的。芝诺提出了四个悖论来否定物体在时间、空间里的运动。在他看来，物体要通过有限的长度就必须在空间上经由无限多的点和在时间上经历无限多的瞬间，而无限是不能超越的，因此，运动是不可能的。无限概念的早期探索：古希腊数学表现出很强的理性精神，追求哲学意义上的真理（非实用性）。在公元前3、4百年的时候，他们的数学思想中就已经牵涉到了无限性、连续性等深刻的概念。著名的芝诺悖论（四个）将无限性概念所遭遇的困难揭示无疑。（二）早期几何理论经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的数学萌芽时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭新的时代。古希腊数学不仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了数学的基本观点，建立数学理论的方法，给以后的数学发展提供了坚实的基础。古希腊的第一个著名数学家是泰勒斯（Thales约公元前624-546），他生于小亚细亚爱奥尼亚地区的滨海城市米利都。公元前6世纪上半叶，泰勒斯曾经去巴比伦和埃及进行过商业活动，在那里学到了许多数学知识，他第一个把这些数学知识带回希腊，在米利都创立了爱奥尼亚学派。相传几何证明就是由泰勒斯开创的。古典希腊时期最早研究几何的是爱奥尼亚学派，泰勒斯在埃及旅行的时候，利用等腰直角三角形相似的原理，解决了埃及祭司们难以解决的测量金字塔高度的问题。泰勒斯确定了以下几条最早的几何定理：1）等腰三角形两底角相等；2）如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等；3）直角彼此相等；4）两条直线相交时，对顶角相等；5）圆的直径平分圆周。爱奥尼亚学派是否对以上定理有过证明，现在还没有根据，但可以肯定，是他们最早提出了某种逻辑推理。公元前6世纪末，爱奥尼亚陷于波斯人之手，公元前494年，波斯统治者镇压了小亚细亚希腊人的反抗，血洗米利都，从此爱奥尼亚学派停止了活动。后来的数学发展主要由毕达哥拉斯学派推动。毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572-497）出生于靠爱奥尼亚沿海的萨母斯岛。青年时代毕达哥拉斯曾就学于泰勒斯。以后他曾到亚洲和埃及旅行，特别是在埃及，他学到了很多数学知识。约在公元前530年，他回到故乡，建立了自己的学派。由于毕达哥拉斯坚持奴隶主贵族的立场和利益，不久被迫钎到意大利东海岸的克洛吞。公元前497年由于反对民主派的活动，被杀于米太旁登。毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数是1、2、3、4，而10则是理想的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。毕达哥拉斯学派用音弦的长短来解释音调的高低，他们发现在相同张力的情况下，当弦长之比为2:1时，两弦能产生谐音（相差8度），当弦长之比为3:2时，两弦相差5度。总之，要使音调和谐就必须使弦长成为简单的整数比。他们也用数的合理来论证天体的多少。他们认为十这个数最完善，因此天体必须且只能有十个，除了当时已知的九大天体，还有一个“反地”。列宁指出，在毕达哥拉斯学说中有着“科学思维的萌芽同宗教、神话之类的幻想的一种联系”。理论算术（数论的雏形）：完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏数）分别表现为其因数之和等于、大于、小于该数本身（注意：因数包括1但不包括该数自身），6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，8589869056，过剩数：12（1+2+3+4+612），不足数14。最小的一对亲和数是220和284。使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之比为6：4：3，边数之比则为3：4：6。对此可证明：设正n边形可覆盖平面，则m个正n边形在同一顶点处相拼后应正好得到一周角，即毕达哥拉斯学派对直线形性质的最大贡献是毕达哥拉斯定理。虽然中国人、巴比伦人、埃及人、印度人都早已知道这个定理的特殊情况，但只有古希腊人才证明了一般的形式。相传毕达哥拉斯证出了这个定理后，曾宰了100头牛以示庆祝。ABCD毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。三维空间中仅有的五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。在五种正多面体中，除正十二面体外，每个正多面体的界面都是三角形或正方形，而正十二面体的界面则是正五边形。正五边形作图与著名的“黄金分割”有关。五条对角线中每一条均以特殊的方式被对角线的交点分割。AB：AD=AD：DB；AB：CB=CB：AC。据说毕达哥拉斯学派就是以五角星作为自己学派的标志的。毕达哥拉斯学派在研究数学的方法上有一个很大的特点，那就是注意形与数的密切结合。古典希腊的代数是依附于几何的，称为“几何代数”。毕达哥拉斯学派的信条：“万物皆数”，这里的数实际上是指正的有理数（当然这是现在的名称），传说，毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，前470年左右）发现了“不可公度比”的现象，并在一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。希帕苏斯发现的不可公度比是正方形的对角线长与一条边的长，当时希帕苏斯只提出这个看法，但未加证明，100年后亚里士多德对这一问题给出了严格的证明：假设有可公度比， 正方形对角线长：边长=：（，互素）则有2=22 ， 于是2是偶数是偶数，设=2， 则2=22 ， 故是偶数与，互素矛盾。为何会导致恐慌？因为毕达哥拉斯学派对许多几何定理的证明都是建立在可公度的前提之下的，不可公度比的发现使这些定理的证明都不能成立。例：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底边之比。证明：由于高相等，ABC和ADE的底可处于同一直线上，取一公度单位，使BC为p个单位，DE为q个单位。则 ，ABB1CDD1E而等底等高的两个三角形面积相等，即，所以 。100多年后，欧多克斯提出了“新比例论”，才用回避的方法暂时消除了“第一次危机”。ABCDEB1BmE1En欧多克斯“新比例论”的定义：设A、B、C、D是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积），C和D同类，若对任意两个（正）整数m和n，关系mA=nB是