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2020/4/29,迭代法回顾,二分法:,设f(x)=0的根为x*,通过迭代计算产生序列:,2020/4/29,设f(x)=0的根为x*,通过迭代计算,产生序列:,迭代的思想,迭代法研究包括方面:,迭代初值,迭代格式,判别收敛及收敛速度,2020/4/29,数值分析3,不动点迭代法不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度序列收敛加速方法,2020/4/29,f(x)=0,x=,f(x)的根,的不动点,不动点迭代(FixedPointIteration),例如,最简单的可以取:,x*称为不动点,2020/4/29,不动点迭代(FixedPointIteration),选择适当的初始值x0,按照如下的迭代格式计算:,如果数列xn是有极限,则称迭代,是收敛的。是非线性方程的根,的不动点。,基本思想是将非线性方程求解归结为一系列显式的函数值计算。,化繁为简化难为易,2020/4/29,例1方程x3+4x210=0在1,2上有一个根,构造求根的不动点迭代格式。,(1),(n=0,1,2,),(n=0,1,2,),(2),2020/4/29,什么样的迭代格式收敛？,2020/4/29,证若或,显然有不动点,设,则有,记则有,所以,存在x*使得即,故x*是的不动点。,压缩映像,2020/4/29,2020/4/29,如果有两个不同的不动点则有,两式相减得,由拉格朗日中值定理知,存在介于之间,使,故不动点唯一。,2020/4/29,2020/4/29,定理2.3如果,满足条件:;(2),则对任意的x0a,b,迭代格式产生的序列xn收敛到不动点x*,且满足,证,2020/4/29,(00使得,则称数列xnr阶收敛。,特别:(1)收敛阶r=1时,称为线性收敛;(2)收敛阶r1时,称为超线性收敛;(3)收敛阶r=2时,称为平方收敛。,序列的收敛阶数越高,则收敛速度越快。,2020/4/29,2020/4/29,定理2.6设x*是的不动点,且,而则p阶收敛,由Taylor公式,其中,介于xn和x*之间.所以,故迭代法p阶收敛。,2020/4/29,例2用不同迭代格式求方程x2-3=0的根。,a),b),2020/4/29,nxn,2.00000001.75000001.73437501.73236081.73209231.7320563,0.06690.12940.13330.13380.1339,012345,nxn,2.00000001.75000001.73214281.73205081.73205081.7320508,0.06690.00512.657e-5-9.07e-8,012345,2020/4/29,2020/4/29,Aitken加速方法,加速收敛序列,2020/4/29,迭代法思想:,收敛性,收敛速度,Iterate:Tosayordoag
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