2014高考复习三角函数专题.docx

专题三、三角恒等变形及应用知识清单1两角和与差的三角函数2二倍角公式；。3三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.（1）降幂公式；。（2）辅助角公式， 。题型1：两角和与差的三角函数例1（1）已知，求cos。分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得得点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系.本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。（2）在中，且，则的大小为（ A ）A B C或 D或（3）若和都是锐角，且，则的值是 3/4 ，的值是 （4）若求的取值范围。答案例2已知求.分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值.解法一：由韦达定理得tan，所以tan解法二：由韦达定理得tan，所以tan，。点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等.抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如例3.（1） 函数最小值为 答案 -2（2）已知函数 () 的最小正周期是.则当且时，=_.（3）已知,则函数得最小正周期是 （4）给出下列命题：存在实数，使；若是第一象限角，且，则；数是偶函数；数的图象向左平移个单位，得到函数的图象； 其中正确命题的序号是_。（把正确命题的序号都填上）（5） 函数在区间上的最小值为 1 。 （6）.（全国卷）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是( C ) A. B. C. D.2（7）设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知，所以由此有，所以，的取值范围为（8）设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增 （D）在单调递增解析：，所以，又f(x)为偶函数，选A（9）设函数，则（A）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称（D）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。解法一：f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称。故选D。解法二：直接验证 由选项知（0，）不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然x = 不会是对称轴故选D。（10）若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ B ）A1 B C D2题型2：二倍角公式例3. (1)为锐角，sin2=,则sin+cos的值是（ B）A B C D(2)（湖北卷）若的内角满足，则（ A ）A. B C D(3) （全国卷）设,且,则( C )A. B. C. D.(4) 若，且，则( A )A B C D (5) 求值（ C ）A B C D 例4.（1）求值： 答案-3（2）；答案：1/16例5.若，则的值为（C ）A B C D例6.（1）函数的一个单调增区间是A B C D解：函数=，它的一个单调增区间是，选D。（2）（ C ）ABCD（3）有四个关于三角函数的命题：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ：xR, += : , : x, : 其中假命题的是（A）， （B）， （3）， （4），【答案】A【解析】因为+1，故是假命题；当xy时，成立，故是真命题；sinx，因为x，所以，sinxsinx，正确；当x，y时，有，但，故假命题，选.A（4）已知函数,则函数图象的对称轴方程是_.（5）已知函数. 求的值；求函数的最小正周期和最大值（）解：， . （）由（）可知，函数的最小正周期. 函数的最大值为2. （6）已知函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）写出函数的单调区间和值域；（3）若，且，求的值.（）解：. 依题意得，即， 解得.（）解：由（）得依题意得.因为 所以， 所以解得 （7）已知函数 （I）当时，求的单调递增区间；答案：（II）当且时，的值域是求的值。 b=4例5.（1）函数的最小正周期是( B )A B C D （2）（江西卷）已知（ B ）ABCD（3）（北京卷）已知=2，求 的值答案：7/6（4） 若则 2008 。（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则= （A） （B） (C) (D) 解析：本题考查三角公式，属于容易题。易知tan=2，cos=.由cos2=2-1= 故选B例6. 若，是第三象限的角，则(A) (B) (C) 2 (D) -2解析：由，是第三象限的角可得.，应选A.另解：由，是第三象限的角可得.，.命题意图：本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.专题四解三角形知识清单：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即= (R是三角形外接圆的半径)2. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即 3.判断三角形的形状： 4三角形面积定理：题型1正弦定理应用：例1.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高解：在中，由正弦定理得所以在中，例2.在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值例3设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（）求B的大小；（）若，求b. (10分)解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）根据余弦定理，得所以，例4.（1）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c求B 答案：（2）在中，则的最大值为 。解析：,；，故最大值是（3）7 在ABC中，已知，试判断ABC的形状。答案：等边三角形（4）在ABC中，设求的值答案：（5）2.（全国卷1）设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a cosB=3，b sinA=4（）求边长a；答案5（）若的面积，求的周长 答案（6）已知的周长为，且（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数解：（I）由题意及正弦定理，得，两式相减，得（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以（7）答案：（1）A=（2）题型2余弦定理的应用例5（1）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ D ）A B C D（2）（福建文）在ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若，则角B的值为（A） 或或（3） 在ABC中，若则 ( B )A B C D （4）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：（）A的大小;（）的值. 解：()由余弦定理， () ( 5 )在中，D为BC边上一点，,.若,则BD=_2+_w.k.例6.（1）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求DEF的余弦值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：作交BE于N，交CF于M，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在中，由余弦定理，. 12分（2）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。解：方案一：需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图）所示） . .3分 第一步：计算AM . 由正弦定理； 第二步：计算AN . 由正弦定理； 第三步：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）. 第一步：计算BM . 由正弦定理；第二步：计算BN . 由正弦定理；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第三步：计算MN . 由余弦定理题型3面积公式例7.在中， （）求的值；（）设，求的面积（）由，得，由，得2分所以5分（）由正弦定理得8分所以的面积1