41-一维随机变量及其数字特征二

一维随机变量及其数字特征（二）一维随机变量及其数字特征 随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律。然而在许多实际问题中，随机变量的分布并不容易求得，并且有时不需要去完全考察随机变量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数。例如1、在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；2、在研究水稻的品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；3、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。随机变量的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点，在理论和实践上都具有重要的意义。 一、离散型随机变量的数学期望从平均数说起，设以数据集2，3，2，4，2，3，4，5，3，2为总体，求其平均数（设为）=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10 =（24+33+42+51）/10 =24/10+33/10+42/10+51/10 =3 下面我们逐步分析如何由分布来求“均值”：（1）算术平均：如果有n个数x1,x2,xn ，那么求这n个数的算术平均，只需将此n个数相加后除以n，即一维随机变量及其数字特征（2）加权平均：如果这n个数中有相同的，不妨设其中有ni 个取值为xi(i=1,2,k)，列表为 其实，这个“加权”平均的权数ni/n 就是出现数值 xi的频率，而频率在 n 很大时，就稳定在其概率附近。（3）对于一个离散随机变量 X，如果其可能取值为x1,x2,xn ，若将这n个数相加后除以n作为“均值”，则肯定是不妥的，原因在于X 取各个值的概率是不同的，概率大的出现的机会就大，在计算中其权数就应该大。用取值的概率作为一种“权数”作加权平均是十分合理的。 注释（1）X的期望E(X)是一个数，它形式上是X的可能值的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了X取值的真正平均，为此我们又称它为X的均值。因为它完全由X的分布所决定，所以又称为分布的平均值。（2）E(X)作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。【例】有A，B 两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？【例】 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利润分别为10元，0元，15元（即亏损15元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？ 解: 设X表示一件产品的利润（单位元），X是随机变量，且X的分布律为 方差和标准差引例 有两批钢筋(每批10根)它们的抗拉强度为：第一批 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140 第二批 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145 可以计算出两批数据的平均数都是126, 但直观上第二批数据与平均数126有较大的偏离因此, 欲描述一组数据的分布,单单有中心位置的指标是不够的,尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标.通常可用EX-E(X)2描