矩阵理论习题解答等材料.doc

西南科技大学研究生试题单（B卷）(2014级高等工程数学A)第一部分 矩阵理论（共32分）1、(8分)填空题 （1）每个n阶矩阵都相似于一个 矩阵。（2），为正规矩阵的充要条件是 对角形矩阵。（3）正交变换在规范正交基下的矩阵是 矩阵。（4）的最小多项式 的零化多项式。2、(6分) 求的子空间的交的一组基。3、(8分) 已知计算。4、（10分）求矩阵的Doolittle分解和分解。第二部分 数值分析（共36分）5、 (4分）解答下列各题设函数,求差商6、（8分）设函数，不直接用拉格朗日插值公式，而用拉格朗日余项公式求出以为插值节点的三次插值多项式7、（8分）设有求积公式试确定系数使上述公式的代数精度尽量高，且指出其代数精度。8、（8分）已知方程组(1) 构造Jacobi迭代法的迭代格式，迭代格式是否收敛？说明理由；(2) 取，用上述迭代法来计算一步迭代值(保留小数点后4位)。9、（8分）若求解初值问题为，试写出Euler方法求解的迭代格式,并计算的值(保留小数点后至少8位)。第三部分 数理统计（共32分）10、（6分）总体的一组容量为5的样本观测值为8，2，5，3，7. 求样本方差及经验分布函数。11、（6分）设是取自总体的样本, 若总体密度函数为，求的极大似然估计量。12、（10分）设两种番茄汁的维生素含量分别服从正态分布，且方差相等，现各取10瓶测量维生素含量，算得：试问两种番茄汁的维生素含量有无显著差异？ 13、（10分）某机器的使用时间与维修费用的统计数据如下表：时间1 2 3 4 5维修费60 100 130 170 200试求对的经验回归直线方程。附查表值： 。西南科技大学研究生试题单（A卷）(2014级高等工程数学B)第一部分 矩阵理论（共33分）1、（5分）写出二次型的矩阵。2、(9分) 在中，求由基（1）：到基（2）：的过渡矩阵。3、(9分) 求矩阵的最小多项式。4、（10分）求矩阵的标准形。第二部分 数值分析（共34分）5、（4分）已知，求及。6、（每题5分，共10分）已知（1）试用写出二次拉格朗日插值多项式；（2）用该二次插值多项式计算的近似值（保留到小数点以后4位）。7、（10分）求近似求积公式的代数精度。8、（10分）试用直接三角（LU）分解法求解线性方程组：。第三部分 数理统计（共33分）9、（10分）：设某木材的横纹压力，现观察10个横纹压力数据，计算得，试求：的置信水平为0.90的置信区间。10、（10分）某卷烟厂生产两种香烟，要化验尼古丁含量，各抽取重量相同的6例化验，得尼古丁的含量( 单位: mg)： 甲：25, 28, 23, 26, 29, 22. 乙：28, 23, 30, 35， 21, 27.设两种香烟中尼古丁含量服从正态分布, 且方差都为3, 试问两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？（取）11、（13分）某机器的使用时间与维修费用的统计数据如下表：时 间x1 2 3 4 5维修费y60 100 130 170 200试求Y对x经验回归直线方程。附查表值：矩阵理论习题解答习 题 一1、 复习线性代数相关知识。 解：对施行行初等变换化为，即可得事实上， 从而， 3、求一个正交变换，把二次型 化为标准形。解：二次型的矩阵为 的特征多项式 则的特征值。把代人方程组，有 解之得基础解系。于是的属于的特征子空间。再分别把代人，得到基础解系为 对向量组进行规范正交化。由于属于不同的特征值，它们相互正交，则对它们单位化有 于是得到正交矩阵，且 。进而有正交变换，其中，使得 。4、求下列矩阵的特征值与特征向量： 解：（1）矩阵的特征值对应于特征值的特征向量是，对应于特征值的特征向量是。（2）矩阵的特征值对应于特征值的特征向量是不同时为零，对应于特征值的特征向量是。 解：对施行行初等变换化为行阶梯形矩阵，有 ，由此可知，为极大无关组，向量组的秩为3。习题二1、 在中，有两组基（1）（2）试求：1） 从第（1）组到第（2）组基的过渡矩阵；2） 向量对第（2）组基的坐标；3） 对两组基有相同坐标的非零向量。 解：1）设 则 即第（1）组基到第（2）组基的过渡矩阵是 2）设是关于第（2）组基的坐标，则是方程组的解。求解该方程组可得 注：这里，由于可逆，则。 3）设有非零向量，使得 即从而有 求解此方程组得解2、 设向量组（1）（2）若，求的维数及一组基。解：注意到，则的基即是的极大无关组。以为列构造 由此可见是的基，且。3、 在中，求下列线性变换在指定基下的矩阵：（1）在自然基下的矩阵；（2）已知线性变换在基下的矩阵为 求在自然基下的矩阵。解：（1）由已知有 则 其中 就是在自然基下的矩阵。 （2）由于 其中 注意到， 则 于是，在自然基下的矩阵是 4、 在欧氏空间中，求一单位向量与下列三个向量正交：解：设向量与三个已知向量正交，则 对系数矩阵施行行初等变换化简得 从而方程组有解 对单位化，得到与三个已知向量正交的向量 5、证明：对任意实数 下列不等式成立 证明：欧氏空间中，令利用C-S不等式知 即6、求齐次线性方程组 的解空间的一组标准正交基。 解：对方程组的系数矩阵用行初等变换化简为行最简形 则方程组有基础解系 对进行施密特正交化，有 再对单位化，即得方程组解空间的标准正交基 习题三 1、求一酉矩阵，使为对角形，这里 . 解：（1）求出的全部特征值， （2）分别将特征值代入方程组，求出基础解系 （3）将正交化，单位化（这里不需要正交化）得 （4）所求酉矩阵为 且有. 注意：在酉空间中两个向量的内积为。2、已知，问可否对角化？若能，则求可逆矩阵，使为对角形矩阵。解：（1）先求出的特征值由于的特征值。因有3个不同的特征值，故可对角化。（2）求特征向量 把代人方程组，有 解之得基础解系。于是的属于的特征子空间。再分别把代人，得到基础解系为 于是得到可逆矩阵，且 。3、设，求可逆矩阵，使得为约当标准型。解： 的特征矩阵为 则的阶行列式因子分别为 .进而的不变因式分别为.于是，的初级因子为。从而相似于约当矩阵 .求可逆矩阵，使。设，由有，即.进而有 ， 于是所求可逆矩阵为 ，且，其中4、设，求正交矩阵，使得为对角形矩阵。解：由于 则的特征值为把带入方程组，得 .解此方程组得基础解系.把代入方程组，得基础解系 注意到实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以先对进行正交化。设 .再将规范化有 于是，所求正交矩阵为 并且 。习题四1、 求多项式矩阵的标准形： 解: 2、 设 证明：当时，并求 解：的特征多项式 ,由H-K定理，有 .令当时，从而，,即 于是， 3、设，利用标准形确定求的约当标准型。解：的特征矩阵 即的标准形为于是，的为。3、 求的最小多项式及，其中.4、 求的最小多项式及，其中.解： 的特征矩阵为，的特征多项式为 ,则的阶行列式因子为 于是的最小多项式。注意到的对应的多项式为，用去除，有余式，则 .习 题 五1、 求矩阵的Doolittle分解和分解。 解: 因则存在唯一的Doolittle分解和分解。先给出的分解，由于，则，此时可假设，利用矩阵乘积运算