广东省六校联盟2020届高三第三次联考数学理试题.pdf

1 绝密启用前 2020 届六校联盟高三第三次联考 理科数学 本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 满足 zi i z (i为虚数单位的复数z=( ) A. 11 22 i B. 11 22 i C. 11 22 i D. 11 22 i 2. 已知集合 22 |1 ,|lg2y yxBx yxxA ，则 A. 1 0,) 2 B. ( ,0) 1 ,+ ) 2 C. 1 (0,) 2 D. ( ,0 1 ,+ ) 2 3. 设a R ， 0b ，则3 a b 是 3 logab 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 7 30，既吹东风又下雨的概率为 1 10.则在吹 东风的条件下下雨的概率为( ) A. 3 11 B. 3 7 C. 7 11 D. 1 10 5. 设等差数列的前 n 项和为 () n S nN ，当首项和公差 d 变化时，若是定值，则下列各项中为定 2 值的是( ) A. 15 S B. 16 S C. 17 S D. 18 S 6. 设的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若， 3 A ，则B ( ) A. 6 B. 2 3 C. 6 或 5 6 D. 4 7. 已知椭圆 C：的左、右焦点分别为 1 F 、 2 F ， 22 22 1(0) xy ab ab 离 心率为，过 2 F 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若的周长为，则 C 的方程为( ) A. 22 1 32 xy B. 2 2 1 3 x y C. 22 1 128 xy D. 22 1 124 xy 8. 已知向量 cos ,sina ， 1,2b ，若a 与b 的夹角为6 ，则| |ab =( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 9. 函数 sin ( )= 2 x x f x e 的图象的大致形状是( ) A. B. C. D. 10. 已知双曲线 22 22 1 xy ab ( 0,0ab )的左，右焦点分别为 1 F 、 2 F ，点A在双曲线上，且 2 AFx 轴，若的内切圆半径为，则其离心率为( ) 3 A. 3 B. 2 C. 31 D. 2 3 11. 设函数 sinf xx ，若 7 ()()() 663 fff ，则的最小正值是( ) A. 1 B. 6 5 C. 2 D. 6 12. 在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵 如图，在堑堵 111 ABCABC 中，AB BC ， 1 AAAB ，堑堵的顶点 1 C 到直线 1 AC 的距离为m， 1 C 到平面 1 ABC 的距离为n，则 m n 的取值范围是 A. 2 3 (1,) 3 B. 2 2 3 (,) 23 C. 2 3 (,3) 3 D. 2 3 (, 2) 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知函数（为常数）在处取得极值，则值为_. 1 ( )sin2sin3 3 f xaxx a3 x a 14. 若 202022020 0122020 (1)(1)(1)xaa xa xax ，则 202012 22020 333 aaa =_ 15. 若函数 ( )=(0) axb f xc cxd ，其图象的对称中心为 (,) d a c c ，现已知 22 ( )= 21 x f x x ，数列 n a 的通项公式为 ()() 2020 n n afnN ，则此数列前 2020 项的和为_ 16. 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1，以顶点A为球心， 2 3 3 为半径作一个球，则球面 与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_ 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 4 17. （本小题满分 12 分） 已知函数 (1)若 ，求函数 ( )f x 的值域； (2)设的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A 为锐角且 3 ( )= 2 f A ， 3c ，求 的值 18. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是直角梯形， 90DAB ,ADBC，侧面 PAB，是等边三角形，E 是线段 AB 的中点 1)求证：； 2)求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 19. （本小题满分 12 分） 已知为坐标原点，过点的直线 O 1,0M 与抛物线：交于A，B两 lC 2 2(0)ypx p 点，且 3OA OB (1)求抛物线的方程； C (2)过点作直线交抛物线于P，两点，记，的面积分别为 1 S ， M llC Q OAB OPQ 2 S ，证明：为定值. 22 12 11 SS 20. （本小题满分 12 分） ( )2sin()cos 3 f xxx 0 2 x 5 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人 民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加为了 更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： 根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入单位：千元同一组数据用该组数据区间的中 点值表示； 由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布，其中近似为年平均收入， 近似为样本方差，经计算得：，利用该正态分布，求： ( ) i 在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制 定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ ( )ii 为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民若 每个农民的年收人相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式，若 2 ( ,)XN ，则； 21. （本小题满分 12 分） 已知函数的定义域为，其中实数 满足.直线1)1 ()( t xxf, 1-t10tt且: l 是的图像在处的切线.)(xgy )(xf0x (1)求 l 的方程 ； )(xgy (2)若恒成立，试确定 的取值范围；)()(xgxft (3)若，求证：. 1 , 0, 21 aa 1221 2121 aaaa aaaa （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分. 22. 选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1 C 的参数方程为 cos 1sin xt yt ，以原点O为极点，x 轴正半 6 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程为 2cos 若曲线 1 C 方程中的参数是，且 1 C 与 2 C 有且只有一个公共点，求 1 C 的普通方程； 已知点 0,1A ，若曲线 1 C 方程中的参数是 t，且