第七章 多元函数的微分法end

第七章 多元函数的微分法前五章我们介绍了一元函数的极限,连续,导数和微分等基本概念.现在我们将把这些基本概念推广到依赖多个自变量的函数,即多元函数.本章主要讨论含两个自变量的函数即二元函数的情况.7.1 多元函数的基本概念一、二元函数及其图形在自然现象中常遇到依赖于两个变量的函数关系，举例如下：例1 任意三角形的面积S与底x高y有下列关系: S=底与高可以独立取值，是两个独立的变量(称为自变量)。在它们的变化范围内，当的值取定后，三角形的面积就有一个确定的值与之对应。例2 从物理学中知道，理想气体的体积V与绝对温度T、压强P之间有下列关系: T,P可以独立取值，是两个独立的变量，在它们的变化范围内，当T,P的值取定后，体积V就有一个确定的值与之对应。以上两个例子的具体意义虽然不同，但却具有一个共同的特征，抽去它们的共性，就得到二元函数的定义如下：定义1 设有三个变量x、y、z，若对于变量x、y在各自变化范围内独立取定的每一组值，变量z按照一定的规律，总有一个确定的值与之对应，则z称为x、y的二元函数，记作zf（x，y）。称x、y为自变量，z为因变量。自变量的变化范围称为函数的定义域。当自变量x、y分别取值x0、y0时，因变量z的对应值z0称为函数zf（x，y）的当x=x0， y=y0时的函数值，记作z0= f（x0、y0）。类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数。二元以及二元以上的函数都称为多元函数。注意:二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域的边界。不包括边界的区域叫做开区域，连同边界在内的区域叫做闭区域。如果区域可延伸到无限远，称这区域是无界的。如果区域总可被包围在一个以原点为中心而半径适当大的圆内，则称此区域是有界的。易见,例1、例2中函数的定义域都是无界的。例3 求函数的定义域。解 此函数的定义域满足不等式 因此函数的定义域是以原点为圆心,以a为半径的圆且包括圆周。它是一个有界闭区域。例4 求函数的定义域。解：显然要使得上式有意义。必须满足。此函数的定义域是在x轴上方抛物线y=x2下方的区域。它是一个无界区域。例4 求函数的定义域。解： 此函数的定义域为，即位于直线上部的半平面，不包含直线本身。这是一个无界区域，见图的阴影部分。二元函数的图形：一元函数在平面直角坐标系中一般表示一条曲线。对于二元函数，根据上一章学习的空间曲面的知识不难想象出它在空间直角坐标系中的图形。设的定义域为平面上的某一区域。当自变量在内取定一组数，即在区域内选定一个点时，因变量必有一确定的值与之对应。于是这三个有实数就确定了空间一个点。一般说来，当点在定义域内变动时，对应点的全体便形成一个空间曲面，这个曲面就叫做二元函数的图形。如例3中二元函数的图形就是以原点为球心，以a为半径的上半球面。二、二元函数的极限与连续定义2 设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的附近有定义，如果当动点P（x，y）以任何方式趋向于点P0（x0，y0）时（即时），函数f（x，y）总是无限接近于一个固定的数A。那么，我们就说函数f（x，y）当点P（x，y）趋向于P0（x0，y0）时极限存在，A就叫做函数当P（x，y）趋向于P0（x0，y0）时的极限，记作【注】二元函数自变量有两个,因此自变量的变化过程要比一元函数复杂得多。类似于一元函数的连续性定义，我们给出二元函数连续性的定义。定义3 若二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）及其附近有定义，且则称函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续。若函数在平面区域D内每一点都连续，就说函数在区域D内是连续的。【注】与一元函数类似，二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍是连续函数。分别由x，y的基本初等函数及常数经过有限次四则运算与复合步骤而构成的一个数学式子叫做二元初等函数。例如，等都是二元初等函数。关于二元初等函数有以下结论。一切二元(包括多元)初等函数在其定义域内是连续的。7.2 偏导数与全微分主要问题：讨论函数的变化率问题。由于二元函数有两个变量，所以自变量的变化有两种情况：一种是一个变化，另一个保持不变；另一种是两个同时变化。本节对两种情况分别进行讨论。一、偏导数偏增量的定义：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）及其附近有定义，当y固定在y0，而x在x0有增量时，相应地函数有增量，这个增量叫做函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）对x的偏增量，记作。 偏导数的定义：作偏增量与自变量的增量，并令若比值的极限存在，则此极限就叫做函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）对x的偏导数，记作或，即=类似可得函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）对y的偏增量：。若存在，则这个极限叫做函数z=f（x，y）在点 P0（x0，y0）对y的偏导数，记作或，即=偏导函数的定义：若在区域D内的每一点P（x，y），函数z=f（x，y）的偏导数与都存在，则称与为函数z=f（x，y）的两个偏导(函)数。【注】1. 习惯上把偏导函数叫做偏导数。z=f（x，y）对x的偏导数记作或。对y的偏导数记作或。2. 、分别叫做偏导数、在点P0（x0，y0）的函数值。3. 一元函数的求导公式和法则对求二元函数的偏导数仍然适用。偏导数的计算1. 求对x的偏导数时，将y视为常数，对x求导数。求对y的偏导数时，将x视为常数，对y求导数。2. 求在P0（x0，y0）的偏导数的方法方法一：首先求出其偏导函数、，在代入该点的坐标值（x0，y0）。方法二：比如求时。通常我们可先代入y=y0，得到，再对x求导数得，然后代入x=x0。【注】 偏导数的符号、是一个整体，不像可以看成dy除以dx。例1 求在点（1，2）处的偏导数。解：法一：先求函数的两个偏导数，再代入点（1，2）求值，即得在点（1，2）的偏导数。法二：求:代入y=2，得，最后代入x=1，得，同理求：，得例2 求的偏导数。解：， 视y为常数，则；视x为常数，则。例3 求的偏导数。解：二、高阶偏导数定义：设函数在区域D内有偏导数与，这两个函数的偏导数如果也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。根据对变量x，y的求导次序不同，二元函数的二阶偏导数有四个：， 其中称为函数的二阶混合偏导数。【注】，类似可定义三阶、四阶以至n阶偏导数。二阶以及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。定理1：若函数的两个混合偏导数在在点（x,y）是连续的，则两者相等。证明略。例1：设求解： ,由此可见例2 设，求解：代入，得=。三、全微分复习：一元函数的微分是函数增量的线性主要部分，用微分代替函数的增量，二者之差是一个比高阶的无穷小。对多元函数也有类似的情况，需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量的问题。下面以二元函数为例进行讨论。全增量的定义 二元函数z=f（x，y），在点P（x，y）给x以改变量，给y以改变量，即x，y同时变化时，相应地函数改变量叫做函数z=f（x，y）的全增量，用表示，即。一般来说，计算全增量比较复杂。与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量、的线性函数来近似代替函数的全增量。引例：已知矩形的边长x与y分别由x0，y0变为x0+，y0+,研究矩形面积S的全增量的表达式。解：矩形面积S=xy,面积的全增量全增量可看作两部分的和，一部分是，它是、的线性函数，另外一部分比前一部分小得多。且当时，而是比高阶的无穷小。所以当、很小时，可用的前一部分作为其近似值。一般结论：若函数z=f（x，y）在点P（x，y）具有连续偏导数、，则函数z=f（x，y）在点P（x，y）的全增量可以表达为，其中前一部分是、的线性函数，另一部分是比更高阶的无穷小。当、很小时，是全增量的主要部分，它与的差是比高阶的无穷小。与一元函数的微分类似，引入全微分的定义：全微分的定义 如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）具有连续偏导数、，则函数z=f（x，y）在点P（x，y）的全增量的线性主部叫做函数z=f（x，y）在点P（x，y）的全微分。记作或，即或由x，y是自变量，可写为，其中叫函数z=f（x，y）在点P（x，y）对x的偏微分，记作；同样地，叫函数z=f（x，y）在点P（x，y）对y的偏微分，记作。【注】全微分可以看成是两个偏微分之和。如果二元函数在某点具有全微分，则称此函数在该点是可微分的。全微分的应用 由全微分的定义，当二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）可微，且、很小时，有下列近似公式：1；2例3 求函数的全微分。解：因为所以例4 计算函数在（1，2）的全微分。解： 例5 计算的近似值。解：设函数，取，由于，又由近似公式2，得7.3 二元函数的极值问题：与一元函数的极值概念相对照，先给出二元函数的极值概念，再讨论极值存在的充分条件和必要条件。一、二元函数极值的概念定义：设函数在点及其附近有定义。若对点附近的一切点都有，则称是的极大值；若，则称是的极小值。极大值和极小值统称为极值。极值点：使函数取得极值的点。【注】1二元函数的极值是一个局部范围的性质。如二元函数在点取得极大值，表示二元函数的曲面上，对于点对应的曲面上的点的坐标，大于点附近其它各点所对应的曲面上的坐标。曲面出现如“山峰”的顶点。2函数在一点可能即不取得极大值也不取最小值。二极值存在的条件定理1：（极值存在的必要条件）设函数在点取得极值，且在该点的两个一阶偏导数存在，则函数在该点的两个一阶偏导数必为零。即。证明：不妨设为极大值点，即在点附近的一切点都有成立，特殊地，在点附近取而的点，则也有，即一元可导函数在处取得极大值，由一元函数极值存在的必要条件，得。同理：。驻点定义：使成立的点称为函数的驻点。【注】：极值点驻点反例：（1）二元函数，（0，0）是其驻点，但非其极值点。（2）极值点可能是驻点，也可能是偏导数不存在的点。 定理2：（极值存在的充分条件）设函数在点及其附近有连续的二价偏导数，且是函数的驻点，令， ，则在点处是否取得极值的条件为：（1）当时必有极值，且当A0（或C0（或C0）时，为极小值。（2）当时，不是极值点。（3）当时，可能是极值也可能不是极值，需另作讨论。小结：求函数极值的一般步骤第一步：解方程组，求出实数解，得驻点；第二步：对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C；第三步：定出的符号，再判别是否是极值。例1：求函数的极值。解：先解方程组，得两个驻点：再求二阶偏导数在点处，,所以不是极值；在点处，所以为极小值。例2：将正数12分成三个正数之和，使得为最大.解：由已知条件，所以，代入函数u中变为，定义域为：，由解得惟一驻点（6,4）。根据题意可知u一定存在最大值，而且u在定义域内只有惟一驻点（6,4），因此可以断定当时，u取得最大值，此时，于是当12分成6，4，2三个数之和时u最大，最大值为。7.4 最小二乘法在农业科学技术及其他工程技术中，经常需要依据实验观测所得到的数据来建立研究对象之间的函数关系。在一般情况下，根据实验观测数据常常无法得到函数关系的精确表达式，而只能建立起函数关系的近似表达式。通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式。经验公式建立以后，就可以把生产或实验中所积累的某些经验，提高到理论上加以分析。问题：已知一组实验数据，来求它们的近似函数关系。在确定这个函数关系的过程中，需要解决两方面问题：一是要根据实验数据点的分布规律或者问题的实际背景确定近似函数的类型；二是确定近似函数的标准，不能要求，允许有偏差，只要使偏差尽量小。下面通过举例介绍建立经验公式的一种常用方法最小二乘法。最小二乘法的原理：一、线性函数的经验公式例1：为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀具的厚度, 得实验数据如下: i 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8其中i表示顺序编号，表示时间，单位为小时；表示刀具厚度，单位为毫米。试根据上面的实验数据找一个能使上述数据大体适合的函数关系式。解：首先判断经验公式的类型。一般先在直角坐标纸上取t为横坐标，y为纵坐标，作出实验数据的散点图。从图上可以看出，这些点的连线大致接近于一条直线。可近似用一个一次线性函数来反映t，y之间的函数关系，其中a，b是待定常数。理想的情况是选取a，b使得直线经过图中标的所有点。但实际上不可能，因此我们只能要求选取这样的a，b，使得在处的函数值与实验数据都相差很小，也就是使偏差都很小。能否设法使偏差和很小来保证每个偏差都很小呢？不能，因为偏差有正有负，在求和时可能互相抵消。为避免这种情形，可对偏差取绝对值再求和，即只要很小，就可以保证每个偏差的绝对值都很小。但式子中有绝对值符号不便于进一步分析讨论。而任何实数的平方都是正数或零，因此可以考虑选取常数a，b，使最小来保证每个偏差的绝对值都很小。这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数a，b的方法叫做最小二乘法。现在考虑经验公式中中，a，b符合什么条件时Q最小，因为是由观测得到的已知数据，根据二元函数取得极值的必要条件，必须取，即化简即 （1）上面方程组（1）是一个二元一次方程组，就是利用最小二乘法得到的求系数a，b的正规方程组。由正规方程组解得a，b，再代入中，就得到所要求的经验公式。下面通过列表来计算及.0123456701491625364927.026.826.526.326.125.725.324.8026.853.078.4104.4128.5151.8173.628140208.5717.0代入方程组（1）得 解得故所求经验公式为上述经验公式算出的函数值与实测的有一定偏差，为衡量经验公式的优劣，计算各点的偏差，列表比较如下： 0 1234567实测的27.026.826.526.326.125.725.324.8算得的27.12526.82126.51826.21425.91125.60725.30325.000偏差-0.125-0.021-0.0180.0860.1890.093-0.003-0.200偏差的平方和，它的均方差，它在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数的近似程度的好坏。二、非线性函数的经验公式上面例子中，按实验数据描出的图形接近于一条直线。在这种情况下，可以认为函数关系是线性函数类型的，应用最小二乘法问题可化解为求一个二元一次线性方程组，计算较方便。但有些实际问题，经验公式的类型不是线性函数，但有的我们可以通过把它化成线性函数的类型来讨论。下面结合例子，考虑函数关系是二次函数、幂函数及指数函数的经验公式的求法。1二次函数的经验公式通过下面例子来说明二次函数经验公式的建立，方法同样采取最小二乘法。例2：由实验测得两个变量x，y的一组实验数据如下表，试建立x与y之间的经验公式。-3-2-10123-0.71-0.010.510.820.880.810.49解：用描点法在xOy坐标平面上作出散点图。可以看出这些点近似地分布在一条抛物线上，因此可以近似地用一个二次函数作为其经验公式，其中a，b，c为待定系数。同样采取最小二乘法来确定a，b，c。设各偏差的平方和为，为了选取a，b，c使Q的值最小，必须取，即即将实验数据代入化简整理得 这是一个三元一次方程组，解此方程得，故所求经验公式为 。如下表所示。xy2幂函数和指数函数的经验公式关于幂函数和指数函数的经验公式的建立，也可以利用最小二乘法得到正规方程，再通过解正规方程求得经验公式中的待定常数。但此时得到的正规方程是一个非线性方程组，求解非线性组非常复杂，要用数值计算。因此我们这里采用将幂函数和指数函数线性化的方法，将幂函数和指数函数转化为线性函数，从而建立其经验公式。下面通过例子来加以说明。例3：设观察土壤水分渗透速度时，得到观察时间t与水的重量w的数据如下表：12481632644.224.023.853.593.443.022.59试建立t与w之间的经验公式。解：用描点法，在tOw坐标平面上作出散点图。从图中看出t与w之间不是线性关系，而是近似地分布在一条幂函数的曲线上，故可设经验公式为 （2）其中c和a是待定常数。采用下面方法确定常数c和a：对（2）式两边同时取以10为低的对数，得，再令，则上式变为，将实验数据代入得下表：00.30.60.91.21.51.80.6250.6040.5850.5550.5370.4800.413将各个点在xOy直角坐标系下作出散点图，可以看出，这些点近似地分布在一条直线附近。可采用最小二乘法对上表计算得，代入正规方程组得正规方程组解之得，又，得，将a，c的值代回公式，则得所求经验公式注：上述通过取对数运算将原来的非线性函数转化为线性函数的过程称为函数的线性化。对指数函数的经验公式，也可同样采用先将函数线性化，再进行最小二乘法的计算步骤。下面通过例子来说明指数函数的经验公式的建立过程。例4：在研究某单分子化学反应速度时，得到下列数据： i12345678369121518212457.641.931.022.716.612.28.96.5其中表示从实验开始算起的时间，y表示时刻反应物的量。试根据上述数据定出经验公式。解：用描点法在Oy平面直角坐标系下作出散点图，从图中可以看出与y之间不存在线性函数关系，而可以看作近似于指数函数关系。故可设经验公式为：，其中k和m是待定常数。为确定常数，先将线性化，两边取常用对数得，再令，得到一个线性函数，其中a和b是待定常数。应用最小二乘法，将上表中的代入正规方程组 经整理计算得解得，所以所求经验公式为。7.5 复合函数微分法复习：在第二章中我们学过一元函数微分学中对复合函数求导是采用从外到内逐层求导的办法。此种方法可以推广到多元复合函数的情形。多元复合函数求导法则在多元函数微分学中起着重要作用。一、二元复合函数求导定义1：设函数是变量u、v的函数，而u、v又都是x、y的函数：，则z通过中间变量u、v成为自变量x、y的复合函数。对已给出具体函数表达式的复合函数求偏导，我们可以先复合再用7.2中求偏导数的方法求出；而对没有给出具体式子的多元复合函数求偏导，即如何直接从函数的偏导数和的偏导数来计算我们给出下面多元复合函数微分法的定理：定理1:如果函数， ，在点（x，y）处存在偏导数，而函数在其对应点（u,v）处存在连续偏导数，则复合函数在点（x，y）处有关于x和y的偏导数，且有下列公式： 公式（1） 公式（2）证明：设x取得增量，这时，的对应增量为由此函数获得增量。由假设，函数在点（u,v）处存在连续偏导数，于是根据7.2中式子（721）有 （注：此时相当于y取得增量为零的特殊情况），将上式两边同除以，得 因为当时，所以 从而公式（1）得证。设y取得增量，同理可证公式（2）成立。【注】：1 对于中间变量和自变量多于两个的情形，可以得到类似的结果。如函数，其中u，v，w是中间变量，在满足定理的条件下有求偏导公式： 2 多元复合函数求偏导数公式与中间变量和自变量的个数有关：中间变量的个数决定公式中的项数，如定理1中有两个中间变量，则公式是两项之和，且每一项都是两个因子的乘积。第一个因子是对一个中间变量的偏导数，第二个因子是该中间变量对指定自变量的偏导数。自变量的个数决定偏导数的个数，定理1中有两个自变量，则有两个偏导数公式。二、复合函数求偏导数举例例1 ，求.解：法一：先将函数复合写出函数的具体表达式再求偏导数。（注：利用此求偏导方法较繁琐，且容易出错）法二：由定理1的复合函数求偏导数公式（1）和（2）得： 例2 设，求，。解：此题没有给出具体的函数表达式，其偏导数只能用记号表示，利用定理1得：及例3 设，当有连续偏导数时，证明：证：此复合函数中，x，y是中间变量，是自变量，由定理1得，由此证毕。例4：设，求。解：本题只有一个自变