概率论与数理统计第二章习题-(1)ppt课件

.,第二章随机变量及其分布,.,这一章里我们介绍概率统计的一个非常重要的概念:随机变量.,借助于随机变量,概率统计对随机现象的研究才能完全量化的以较统一的方式进行,从而使概率统计的研究能够向深入发展.,.,第一节随机变量及其分布,1.随机变量的概念2.随机变量的分布函数3.离散随机变量的概率分布列4.连续随机变量的概率密度函数,.,1.随机变量的概念,为什么要引进随机变量?,上一章里,我们介绍了随机现象,样本空间,事件及其概率等知识,知道了随机现象的样本空间的类型很多,即其样本点的类型和数量在不同的研究中有很大差别:,有时样本空间的样本点本身就是数量.如掷一颗骰子,样本点是出现的点数;电视机的寿命,样本点是电视机可能的寿命.,.,但在很多的情况下,样本空间的样本点本身不是数,而且数量多,这会对相关事件的深入研究造成麻烦.而且,我们感兴趣的往往不是样本点本身,而仅仅是其某一个数字特征.,例如,对50个人进行对于某项政策是否同意的民意调查,其每一个样本点是50个“同意”或“不同意”的排列,如,(同意,不同意,不同意,同意,同意,同意,不同意),50,样本空间里含的样本点数有250个.这样的原始的样本空间不便于我们表达和讨论有关事件的研究.,.,该如何简化呢?,答案是根据研究目的引进随机变量,从而建立原始样本点和数的关系,得到一个新的由数构成的简单的样本空间.,例如在本例中,我们感兴趣的数量仅仅是50个人中同意该项政策的人数.记X为50个人中同意该项政策的人数,则对于每一个原始样本空间的样本点,X有唯一的数与之相对应.,.,所以,X是样本点的函数,根据试验结果的不同取不同的值,我们把X称为一个随机变量.,该例中引入随机变量的好处有哪些?,引入变量X后,X对应的样本空间为0,1,50,与原始样本空间相比有两个优点:(1)数量化,(2)元素少;而且用原始样本空间难以表达的事件,如有一半人同意该项政策,可以用随机变量简单表示成:X()=25,或缩写成X=25.,所以说,随机变量的引进大大方便了对概率的研究.,.,以上的例子表明,在随机试验里,有这样的一种量X,它要么就是试验结果即样本点,要么跟试验结果相关,它随着试验结果的不同而取不同的值,所以是变量.这就是随机变量的通俗的定义.,从数学的角度看,随机变量X本质上是试验结果即样本点的函数。故有如下的数学的定义.,.,随机变量的定义:设=为试验的样本空间,如果对每个,都对应一个实数X(),则称这样的实值函数X()为随机变量.,X()可理解成样本点的某一个数字特征,.,随机变量常用大写字母X,Y,Z等来表示,其取值常用相应的小写字母x,y,z来表示.,随机变量的一些例子如:,(1)同时掷两只骰子,令X=掷得的数字和;,(2)连续抛一枚硬币25次,令Y=25次中的到的正面的次数.,.,变量的分类假如一个随机变量只能取有限个或可列无穷个值,则称其为离散随机变量(DiscreteRandomVariable).假如一个随机变量的可能取值充满数轴的一个区间,如(a,b),则称其为连续随机变量(ContinuousRandomVariable).,例如例一中的X是一个离散随机变量,灯泡的寿命T是一个连续随机变量.,.,有了随机变量的概念后,随机事件就可以通过随机变量来表示.,例如在维修人员的配备问题中,用X表示同一时刻发生故障的台数,则X是一个随机变量.有关事件如,(1)“同一时刻恰有k台机床发生故障”可用X=k来表示;,(2)“车间里同一时刻发生故障的机床台数不超过m台”可用Xk来表示,这样,我们对随机事件的研究就可以转化成对随机变量的研究.,.,概率分布的定义随机变量X的可能取值和它取这些值的概率称为X的概率分布.,正如研究随机试验那样,我们不仅要知道随机试验可能出现哪些结果,更要了解这些结果出现的概率有多大.,同样对随机变量,我们不仅要知道它取哪些值,还要知道它取这些值的概率,也就是该随机变量的概率分布.,本章的重点就是考察随机变量的概率分布.概率分布由于随机变量的特点有不同的表达方式,下面首先介绍一个通用的工具:随机变量的分布函数.,.,2.随机变量的分布函数(CumulativeDistributionFunction,简称cdf),定义设X是一个随机变量,对任意实数x,称F(x)=P(Xx)为随机变量X的分布函数,记为XF(x).,.,分布函数刻画的是变量X落在(-,x这种区间里的概率.,那么其它种类的区间呢?,P(aa)=1-P(Xa)=1-F(a),这方面更详细的讨论待我们介绍完分布函数的性质再继续.,X落在其它种类区间的概率均可以用F(x)来表示.如:,.,例一.连续抛一枚硬币三次,定义X=获得的正面的次数.求X的分布函数.,解:X的取值情况如下表,.,故X是一个离散随机变量,可求得X的概率分布为,所以根据分布函数的定义有:,当x0时,F(x)=P(Xx)=0当0x1时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)=1/8,.,当1x2时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=1/2当2x3时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=7/8当x3时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,综上所述,X的分布函数为:,.,X的分布函数的图形为:,.,分布函数的三条基本性质:,证明:(1)(2)显然,我们证(3).,.,.,有了X的分布函数,那么有关X的各种事件的概率都能方便地用分布函数表示了.,从例二中X的F(x)图象,可以清楚地看出分布函数的这三条性质.,例如,对于任意的实数a,b,有,.,.,我们看一个连续随机变量分布函数的例子.,.,例三.设连续型随机变量X的分布函数为,解:,.,注意到F(x)是连续的,.,3.离散随机变量的概率分布列,定义若X是一个离散随机变量,如果X的所有可能值为x1,x2,xn,则称X取xi的概率pi=P(X=xi),i=1,2,n,为X的概率分布列.,一个离散型随机变量的概率分布用分布函数来描述并不是最方便的.,因为一个离散随机变量只取有限个或可列无限个值,所以我们可以定义其取每个值的概率,即给出该变量的概率分布列.,.,例如,变量X=掷一颗骰子得到的数,则X的概率分布列是,概率分布列除可以用函数的方式给出,也可以用列表的方式给出.,P(X=xi)=1/6,i=1,2,6,或者用列表的方式给出,.,概率分布列的两条基本性质:,反之,如果一个数列pk满足上面的两条性质,则必存在某离散随机变量X,使得pk成为X的概率分布列.,.,它的图形是介于0,1间的阶梯函数,它在X的每个取值点xi处有个跳跃,其跳跃值恰为P(X=xi).(参看例二中F(x)的图形).,由X的概率分布列还可求得其分布函数:,.,例四(几何分布).某射手每次射击的命中率为p,现对一个目标连续射击,直到射中为止.设X为该射手命中目标时射击的次数,求X的分布列和分布函数.,解:显然,X是一个离散随机变量,其可能取值为1,2,.,X的概率分布列为,k-1个,.,当x1时,F(x)=P(Xx)=0,或者用列表的方式给出,现求其分布函数.,当1x2时,F(x)=P(Xx)=P(X=1)=p=1-q,当2x3时,F(x)=P(Xx)=P(X=1)+P(X=2)=p+pq=p(1+q)=1-q2,.,当kxk+1时,F(x)=P(Xx)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=k)=p+pq+pqk-1=p(1+q+qk-1)=p(1-qk)/(1-q)=1-qk,故分布函数为,其中,x是对x取整,即取小于或等于x的最大整数.,.,几何分布是较为常用的一种离散分布,一般用来描述次数不限的伯努利试验中A事件“首次出现”的概率模型.,通常称为几何分布.,该例中X服从的分布:,之所以称为几何分布,是因为分布列pqk-1正好组成一个几何级数.,.,4.连续随机变量的概率密度函数(ProbabilityDensityFunction,简称pdf),除了上面介绍的离散型随机变量外,还有另外一类随机变量,即连续型随机变量,如灯泡的寿命,等候公共汽车的时间等.它们的取值是非离散的,充满了某一实数区间.,是不是也可以用概率分布列的方式去描述其概率分布呢?,.,首先连续随机变量的取值是不可列的,没法象分布列那样以可列的方式定义每个值的概率.,答案是否定的.,其次,一个连续随机变量取每个值的概率等于0,所以研究其取每个值的概率是平凡的.其原因是,对于任意x0,根据分布函数的性质有P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0),又根据连续随机变量的定义,F(x)连续,所以F(x0)=F(x0-0),所以P(X=x0)=0.,.,定义:设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数p(x),使得对任意实数x,对于连续随机变量,我们常用其概率密度函数来描述其概率分布.,则称X为连续随机变量,称p(x)为X的概率密度函数,简称密度函数.,由定义知,在F(x)导数存在的点上有,即概率密度函数是分布函数的导数.,.,密度函数p(x)的两条基本性质:,基于这两条性质,从图形上看,密度函数曲线y=p(x)位于x轴上方,且与x轴之间的面积等于1.,.,这一结果有直观的几何意义:X落在(x1,x2之