第四章 地球椭球及其数学计算ppt课件

.,上一堂课内容回顾,地球形状大地水准面与地球椭球大地水准面（一次逼近）地球椭球（二次逼近）参考椭球地球重力场地球引力（位）离心力（位）重力（位）垂线偏差地球磁场地磁七要素,.,上一堂课内容回顾,重力场与地磁场的异同,相同点：均为人为不可控天然稳定场（对导航有利）均随空间位置变化，具有一定的空间分布规律都随时间发生微小变化不同点：重力场和地磁场成因不同、性质不同；重力场为单极场，地磁场近似为偶极场；重力场为强场，地磁场为弱场；地磁场为强时变，重力场弱时变；,.,第四章地球椭球及其数学计算张小红武汉大学测绘学院,导航学,.,第四章地球椭球及其数学计算,4.1地球椭球的几何参数及其相互关系4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系4.3地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系4.4地球椭球上的曲率半径4.5椭球面上的弧长计算4.6法截线与大地线4.7大地主题解算4.8导航中大地线长度的计算方法4.9把地面观测值归算至椭球面,.,第四讲,第四章地球椭球及其数学计算,.,第四章地球椭球及其数学计算,第一节地球椭球的几何参数及其相互关系,.,4.1地球椭球的几何参数及其相互关系,椭球上的点和线地球椭球是一个具有合适的形状和大小的椭圆绕短轴旋转一周后所形成的一个旋转椭球北极N和南极S椭球中心O赤道平面（赤道圈）子午面（子午圈）平行圈或纬圈旋转椭球体的特点对称性过任意一点的子午圈的形状和大小相同平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆,子午圈的形状和大小决定了地球椭球的形状和大小,.,4.1地球椭球的几何参数及其相互关系,椭球的基本几何参数椭球长半径椭球短半径椭球的扁率椭球的第一偏心率椭球的第二偏心率,上述5个参数中任选两个参数就能表示椭球的形状和大小，但其中至少有一个长度参数，通常选和,其中a，b称为长度元素，扁率反映了椭球体的扁平程度。偏心率是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球的扁平程度，偏心率愈越大，椭球越扁,.,4.1地球椭球的几何参数及其相互关系,椭球几何参数间的相互关系,.,4.1地球椭球的几何参数及其相互关系,辅助参数（为简化后续公式推导）,极点处的子午曲率半径,.,第四章地球椭球及其数学计算,第二节大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,.,4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,大地坐标系大地坐标系是大地测量学与导航学中常用的一种坐标系，亦称地理坐标系或椭球坐标系它是以经过椭球定位后的地球椭球上所定义的点线面为参考的一种坐标系。地面一点的大地坐标（B，L，H)大地纬度B(N/S090)大地经度L(E/W0180)大地高H,.,4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,空间直角坐标系是大地测量与导航计算常用的坐标系空间直角坐标系定义坐标原点O：位于总地球椭球(或参考椭球)中心Z轴：与地球平均自转轴相重合，指向某段时间的平均北极点；X轴：指向由平均格林尼治天文台和平均自转轴所确定的子午面与赤道面的交点Ge；Y轴：垂直于X轴和Z轴构成右手系,.,4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,子午面直角坐标系（大地坐标与空间直角坐标系转换所需的中间坐标系）P点为空间某点P沿法线方向在地球椭球上的投影点，以过P点的子午椭圆中心为原点，建立一个平面直角坐标系，x轴与子午椭圆的长轴重合，y轴与椭圆的短轴重合。在该坐标系中，P点的位置用(x,y)表示过P点作子午椭圆的切线TP，切线的斜率为,.,4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,子午面直角坐标系,引入辅助参数,代入x,.,4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,大地坐标转空间直角坐标,在椭球面上的点,不在椭球面上的点（推导）,.,4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,大地坐标系到空间直角坐标系的转换推导思路建立空间直角坐标系建立子午面直角坐标系（中间过渡）推导子午面直角坐标和大地纬度与椭球有关参数之间的关系找到空间直角坐标和子午面直角坐标之间的相互关系建立空间直角坐标和大地坐标之间的关系,.,4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,空间直角坐标转大地坐标,迭代公式,迭代初值：,或,.,4.2大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系,空间直角坐标系转大地坐标系,直接公式,低精度直接公式,高精度直接公式,纬度的精度可达,大地高的误差小于,.,第四章地球椭球及其数学计算,第三节地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系,.,4.3地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系,.,4.3地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系,空间直角坐标与归化纬度间的关系P点在子午面直角坐标系中的坐标,.,4.3地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系,.,4.3地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系,大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45时：,.,第四章地球椭球及其数学计算,第四节地球椭球上的曲率半径,.,4.5椭球面上的弧长计算,基本知识三角函数级数展开,.,4.5椭球面上的弧长计算,基本知识弧度和度的定义,角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示角度制：规定周角的360分之一为1度的角弧度制：规定长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度,.,4.4地球椭球上的曲率半径,子午圈曲率半径M,对于一条平面曲线,其曲率半径可用下式计算,.,4.4地球椭球上的曲率半径,子午圈曲率半径M,.,4.4地球椭球上的曲率半径,子午圈曲率半径M,极点处的子午曲率半径,.,4.4地球椭球上的曲率半径,卯酉圈过椭球面上任意一点P可作一条垂直于椭球面的法线PF，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中与子午面垂直的法截面称为卯酉面，卯酉面与椭球面的交线称为卯酉圈卯酉圈的曲率半径通常用符号N表示,.,4.4地球椭球上的曲率半径,卯酉圈曲率半径N麦尼尔定理：假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧（卯酉圈），一条为斜截弧（平行圈），且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径r等于法截弧的曲率半径N乘以两截弧平面夹角B的余弦,卯酉圈曲率半径N就是从P点至法线与椭球短轴的交点F间的距离,(课后推导),.,4.4地球椭球上的曲率半径,卯酉圈曲率半径N,.,4.4地球椭球上的曲率半径,子午圈和卯酉圈圈曲率半径级数展开（实际计算）,或,顾及8次项的计算公式一般已能保证mm级的计算精度,（参见4-47式）,.,4.4地球椭球上的曲率半径,任意方向法截弧的曲率半径子午法截弧是南北向，方位角为0或180卯酉法截弧是东西向，其方位角为90或270子午法截弧和卯酉法截弧在P点处正交过P点的子午曲圈率半径M和卯酉圈曲率半径N称为曲面在该点的两个主曲率半径,.,4.4地球椭球上的曲率半径,任意方向法截弧的曲率半径,尤拉公式,级数展开,A为任意法截弧的大地方位角,.,4.4地球椭球上的曲率半径,.,4.4地球椭球上的曲率半径,平均曲率半径平均曲率半径就是过该点的所有的法截弧的曲率半径的算术平均值,积分,椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径的几何平均值,.,4.4地球椭球上的曲率半径,M、N、R的关系,.,4.4地球椭球上的曲率半径,M、N、R的数值表,参数：克拉索夫斯基椭球体,.,第五讲,第四章地球椭球及其数学计算,.,上一堂课内容回顾,地球椭球的几何参数及其相互关系大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系椭球上的曲率半径子午圈曲率半径M法截弧、卯酉圈的定义，卯酉圈曲率半径N任意方向上的法截弧曲率半径RA平均曲率半径R,N,R,M均随纬度增大而增大B=90时，N=R=M=c,.,第四章地球椭球及其数学计算,第五节椭球面上的弧长计算,.,4.5椭球面上的弧长计算,子午线弧长子午椭圆的一半，它的端点与极点重合赤道又把子午线分成对称的两部分椭球上每个子午圈的形状和大小均相同计算子午线弧长与该子午圈的经度无关推导从赤道沿子午线至任一纬度B的子午线弧长计算公式就可以计算出所需要的子午弧长,.,4.5椭球面上的弧长计算,子午线弧长计算公式,其中,.,4.5椭球面上的弧长计算,子午线弧长计算公式,小于0.1mm，可以忽略,.,4.5椭球面上的弧长计算,子午线计算公式,克拉索夫斯基椭球：,1975年国际椭球：,CGCS2000地球椭球：,WGS84椭球：,.,4.5椭球面上的弧长计算,当子午线很短时，例如子午线两端的纬差时，可将子午线视为圆弧。其曲率半径采用两端的平均纬度处的子午曲率半径子午线弧长公式可简化为：,1弧度对应的度，分，秒值,.,4.5椭球面上的弧长计算,不同地球椭球上的子午线弧长,北纬至北纬的子午线弧长,.,4.5椭球面上的弧长计算,平行圈（圆）弧长计算,经度差,.,4.5椭球面上的弧长计算,由子午线弧长求大地纬度迭代解法直接解法,.,4.5椭球面上的弧长计算,曲率半径M、N及弧长S、S随纬度B的变化,1850.5772,.,4.5椭球面上的弧长计算,.,第四章地球椭球及其数学计算,第六节法截线与大地线,.,4.6法截线与大地线,法截线面与法截线过椭球面上任意一点P可作一条垂直于椭球面的法线PF，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线,.,4.6法截线与大地线,相对法截线地球椭球是一个旋转椭球，过椭球面上任意一点D作椭球面的法线时，该法线必定位于过D点的子午面上，与椭球短轴交于D1D点在子午平面直角坐标系中的y坐标为,.,4.6法截线与大地线,相对法截线如果椭球上另有一点E，（，），过E点作椭球的法线（该法线位于过E点的子午面内），与椭球短轴交于E1,.,4.6法截线与大地线,相对法截线当椭球面两个点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有两条法截线存在D点(D到E)正法截线D点(E到D)反法截线称为相对法截线,不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线不重合,正法截线：过某一点的法线和椭球面上的另一点作一法截面，与椭球相交的线为该点的正法截线反法截线：过另一点的法线和该点作一法截面，与椭球相交的线为该点的反法截线,.,4.6法截线与大地线,相对法截线不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线不重合某点的纬度越高，其法线与短轴的交点离开椭球中心就越远法截线BbA偏上（北），法截线AaB偏下（南）当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈时，正反法截线重合,.,4.6法截线与大地线,相对法截线北半球，A点在B点的南面，则A的正法截线也在南面，而反法截线在北面南半球则相反,AB方向在不同象限时，正反法截线的关系,.,4.6法截线与大地线,大地线的提出正反法截线不重合椭球面上A，B，C三个点处所测得角度(各点上正法截线之夹角)不能构成闭合三角形（图中实线部分的观测角）为了克服这个矛盾，在两点间另选一条唯一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的封闭椭球面三角形,内角和不等于180,.,4.6法截线与大地线,两点之间的最短距离平面上是连接两点的直线端球面上是连接两点的大圆弧段（圆心和球心重合的圆就是大圆）在椭球面上呢？,.,4.6法截线与大地线,大地线定义定义1：大地线上每点的密切平面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线，即大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合。大地线又称为测地线。（微分几何中的定义）定义2：椭球面上两点间距离最短的曲线叫大地线在平面上大地线就是一条直线在球面上大地线是一段大圆弧（圆心和球心重合的圆就是大圆）,.,4.6法截线与大地线,大地线的性质大地线是两点间唯一最短线大地线位于相对法截线之间大地线更靠近正法截线大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面两点的正反法截线不重合，它们之间的夹角，在一等三角测量中(平均点间距40km)可达千分之四秒大地线与正法截线的夹角大地线与法截线长度之差非常小，可忽略不计在椭球面上进行测量和计算时，应当以两点间的大地线为依据地面上测得的方向，距离等，应归算到相应大地线的方向和距离,.,4.6法截线与大地线,大地线的微分方程指的是大地线的弧长S与所定义坐标系中的自变量间的微分关系在空间直角坐标系中dS与dx，dy，dz间的关系在大地坐标系统中dS与dL，dB，dA间的关系,.,4.6法截线与大地线,球面三角形余弦定理若已知球面三角形ABC的三頂点是A、B、C，其所对应的三边分別是a,b,c，則有球面上的角余弦定理:cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosa,.,4.6法截线与大地线,大地线的微分方程,球面三角形(p1p3N)余弦定理:,微小量,.,4.6法截线与大地线,大地线微分方程,.,4.6法截线与大地线,大地线的克莱劳方程,积分,克莱劳定理：,.,4.6法截线与大地线,大地线的克莱劳方程,克莱劳定理：,当大地线穿越赤道时，B=0，r=a，A=A0,当大地线达极小平行圈时，A=90，设r=r0，B=B0,某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的大地方位角正弦的乘积，或者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径,可用于检测纬度和大地方位角计算的正确性,思考：赤道是不是大地线，子午圈是不是大地线？,.,4.6法截线与大地线,大地线的克莱劳方程图中有一条大地线，该大地线在与赤道相交的E点处的大地方位角为A，则该大地线将与半径的平行圈相切于F点，然后调头向南，而不会跑到纬度更高的地区去,.,4.6法截线与大地线,相对法截线夹角,.,4.6法截线与大地线,截面差,A点的大地线与正法截线的夹角（截面差）：,在一、二等大地测量中，截面差具有系统性，为防止误差的不断积累，进行方向观测值的归算时均需施加截面差改正导航中很少在椭球面上进行精密方向观测值的计算,.,4.6法截线与大地线,大地线与法截线的长度之差,.,第四章地球椭球及其数学计算,第七节大地主题解算,.,4.7大地主题解算,大地主题解算分为:短距离(400km)中距离(1000km)长距离(1000km以上),.,4.7大地主题解算,大地主题解算在涉及描述地球表面或近地空间相关学科，如大地测量、导航制导、远程导弹的弹道解算、远洋航海、航天测控和地球物理等领域的问题时，经常会遇到计算椭球面上两点之间距离、方向等问题是弹道计算的核心算法在航路规划中，大地主题解算是最基本的运算，其运算的速度，运算结果的精度将直接关系到航路规划的效果,.,4.7大地主题解算,大地主题解算解算时涉及复杂的数学运算与推导，以前没有电子计算机，处理非常繁琐，先后有一大批学者致力于大地主题解算的研究1806年法国著名数学家勒让德首先采用泰勒级数将大地线微分方程展开为大地线长度的升幂级数，用以解算大地主题历史上研究大地主题解算的算法有许多种，据不完全统计，有100多种，如Gauss法、Helmert法、Bessel法和Boring法等手工推导得到的直接解算公式，形式较复杂，使用不甚方便随着计算机技术的发展，大地主题解算更简单，更准确,.,4.7大地主题解算,大地线在大地坐标系中的微分方程,其精确值不能直接计算，必须进行逼近求解,.,4.7大地主题解算,.,4.7大地主题解算,.,4.7大地主题解算,在起点P1处展开的级数算法,一阶导数：,二阶导数：,再次求导,三阶导数：,四阶导数：,五阶导数：,将所有求得的导数代入麦克劳林级数展开式,.,4.7大地主题解算,在起点P1处展开的级数算法,纬度计算公式：,.,4.7大地主题解算,在起点P1处展开的级数算法,经度计算公式：,.,4.7大地主题解算,在起点P1处展开的级数算法,方位角计算公式：,.,4.7大地主题解算,提出高斯平均引数法,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数法高斯平均引数法在大地线的中点处M同时向前和向后用级数展开，然后再合并在一起推导思路：首先把勒让德级数在P1展开改为在大地线中点M处展开，使公式项数减少，加快收敛，提高精度将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并迭代计算优点可以使大地线的长度减半可消除公式中的偶阶项同时适用于大地主题正、反算,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式,相减,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式,引入平均纬度和方位角,未知，需迭代,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式,相加除2,=,同理得：,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式,前面已得到,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式,代入,略去高阶项,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式（适用于120km以内）,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法正算公式（适用于70km以内）,其中主项为：,主项迭代3次改正项迭代12次,.,4.7大地主题解算,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法反算公式,将正算公式左右移项后得：,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法反算公式,将正算公式左右移项后得：,省去高阶项，右式中用主项代替，主项为：,主项,用主项代入,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法反算公式（适用于200km以内）,令：,得：,无需迭代直接求得,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法反算公式（适用于200km以内）,代入至下式,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法反算公式（适用于70km以内）,公式简化得：,其中有：,其余算法和200km距离的反算一样,.,4.7大地主题解算,高斯平均引数算法反算公式总结和要点反算公式由正算公式左右移项得到利用主项替换公式右边的未知项无需迭代，直接求得对于短距离大地线，通过省去高次项，可以简化计算公式,.,4.7大地主题解算,白塞尔大地主题解算法按照一定的法则将椭球面上的大地元素投影至一个辅助球上，实现椭球面向球面的过渡在圆球上采用简单的球面三角公式进行计算，推求大地元素将计算结果转换至椭球面上，实现球面向椭球面的过渡,特点：计算精度不会随着距离的增加而迅速下降，适用于短距离和长距离大地主题解算算法：白塞尔大地主题算法,.,4.7大地主题解算,白塞尔大地主题解算方法1825年德国大地测量学家、天文学家白塞尔（F.W.Bessel）提出了一种长距离大地主题解算公式。基本思想是：首先按照一定法则将椭球面上的已知大地元素“投影”至一个单位球面上，然后再在这个辅助球面上用球面三角公式进行严密的坐标正反算，最后再将计算结果再转换至椭球面上来。由于地球椭球的扁率仅为1/297，与圆球非常接近，因而从椭球面至圆球（或从圆球至椭球）的投影的“变形”就很小，即使采用一个相对较为简单的公式就能适用于长距离的大地主题解算。此后又有不少学者对该公式进行了改进。特点：计算精度不会随着距离的增加而迅速下降，适用于短距离和长距离大地主题解算,.,4.7大地主题解算,直接对大地线微分方程进行数值积分采用数值计算的方法以适当的步长对大地线微分方程进行数值积分,优点：易于编程实现，适用于不同长度的大地主题解算缺点：计算工作量大，随着距离的增加精度可能会有所下降，此外在两极地区效果也不好算法：龙格库塔法，阿达姆斯法,.,4.7大地主题解算,其它方法转换至高斯平面进行计算直接在空间中计算点的几何关系（卫星大地测量）,.,第四章地球椭球及其数学计算,第八节导航中大地线长度的计算方法,.,4.8导航中大地线长度的计算方法,导航中大地线长度的计算需求：由两点大地坐标求大地线特点：精度要求不高，公式要求简单方便，计算速度快方法：Andoyer-Lambert法，大椭圆法,.,4.8导航中大地线长度的计算方法,Andoyer-Lambert法该法是以适用于中长距离的白塞尔大地主题解算公式为基础进行简化和近似处理得到的,大地线微分方程：,替换,.,4.8导航中大地线长度的计算方法,Andoyer-Lambert法,大地线微分方程：,泰勒展开：,.,4.8导航中大地线长度的计算方法,Andoyer-Lambert法,积分,未知量，需要求解,.,4.8导航中大地线长度的计算方法,Andoyer-Lambert法,未知，先放着，稍后做处理,.,4.8导航中大地线长度的计算方法,Andoyer-Lambert法,.,4.8导