高三数学一轮复习 第5章5.3等比数列课件 文 北师大

5.3等比数列,5.3等比数列,考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考,双基研习面对高考,双基研习面对高考,1等比数列的相关概念及公式,同一个常数,a1qn1,等比数列,思考感悟,1b2ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b0，a，c至少有一个为零时，b2ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2ac.,2等比数列的性质(1)等比数列an满足_时，an是递增数列；满足_时，an是递减数列,(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积_特别地，若项数为奇数时，还等于_的平方(3)对任意正整数m、n、p、q，若mnpq，则_.特别地，若mn2p，则_.,相等,中间项,amanapaq,aaman,思考感悟,2数列an的前n项和为Sn，若Snaqnb(a，bR)，an是等比数列，则a，b满足的条件是什么？,1在等比数列an中，a53，则a3a7等于()A3B6C9D18答案：C2(2011年南阳调研)设a12，数列an1是以3为公比的等比数列，则a4的值为()A80B81C54D53答案：A,3(2010年高考重庆卷)在等比数列an中，a20108a2007，则公比q的值为()A2B3C4D8答案：A4(教材习题改编)设an是等比数列，a12，a8256，则a2a3_.答案：125若数列an满足：a11，an12an(nN)，则Sn_.答案：2n1,考点探究挑战高考,证明一个数列是等比数列的方法主要有两种：一是利用等比数列的定义，即证明q(q0，nN)；二是利用等比中项法，即证明aanan20(nN)在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论判断一个数列不是等比数列只需举出一个反例即可,(2009年高考全国卷)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式【思路点拨】本题第(1)问将an2Sn2Sn1代入可以得到an的递推式，再由bnan12an代入即证；第(2)问将bn的通项公式代入bnan12an，可得an的递推式，再依照题型模式求解即可,【解】(1)证明：由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13，又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列,等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程尤其要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论,(1)(2010年高考江西卷)等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an()A(2)n1B(2)n1C(2)nD(2)n(2)(2010年高考辽宁卷)设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q()A3B4C5D6,【思路点拨】根据题意，建立关于首项a1和公比q的方程组求解,【答案】(1)A(2)B(3)B【名师点评】等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解,变式训练1数列an中，a11，a22，数列anan1是公比为q(q0)的等比数列(1)求使anan1an1an2an2an3(nN)成立的q的取值范围；(2)若bna2n1a2n(nN)，求bn的通项公式,等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口,(2011年南阳调研)在等比数列an中，a1最小，且a1an66，a2an1128，前n项和Sn126，(1)求公比q；(2)求n.【思路点拨】根据等比数列的性质，a2an1a1an，由此可得关于a1、an的方程，结合Sn126可求得q和n.,在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键,【思路点拨】对于(1)，根据an与Sn的关系可求得k的值，从而得到an的通项公式；对于(2)，可先求出bn的通项公式，然后用错位相减法求出Tn，再结合Tn的单调性证明不等式,【失误点评】本题易弄不清“错位相减”的项数而致使解答错误,解：(1)因为对任意的nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图像上所以得Snbnr，当n1时，a1S1br，当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，所以an(b1)bn1，,方法感悟,方法技巧,2方程观点以及基本量(首项和公比a1，q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二(如例2)3等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题(如例3),4解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解等比数列的定义，能够用定义法或等比中项法判断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能够用基本量方法和等比数列的性质解决有关问题(如例4)5SnmSnqnSm.,失误防范,1把等比数列与等差数列的概念和性质进行类比，可以加深理解，提高记忆效率注意三点：(1)等比数列的任何一项都不能为0，公比也不为0；(2)等比数列前n项和公式在q1和q1的情况下是不同的；(3)等比数列可看作是比等差数列高一级的运算，一般等差数列中的“和”、“差”、“积”形式类比到等比数列中就变成“积”、“商”、“幂”的形式2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.,考向瞭望把脉高考,等比数列是每年高考必考的知识点之一，考查重点是等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏高客观题主要考查对基本运算，基本概念,的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算，基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化等思想方法预测2012年高考，等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式仍是考查重点，应特别重视等比数列性质的应用,规范解答,(本题满分12分)(2010年高考四川卷)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN)，求数列bn的前n项和Sn.,【名师点评】(1)本题易失误的是：解题时忽视公比q1的情形；用“错位相减法”求和时，“错位”出错；对“错位相减”后出现等比数列的项数判断出错,(2)如果数列an是一个由等差数列bn