苏科版2020年中考数学冲刺复习试卷

初三数学冲刺复习（二）1如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且PDAPBD延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为O的切线，并说明理由；（2）如果BED60，求PA的长（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形2已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AECF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合（1）求四边形AEOF的面积（2）设AEx，SOEFy，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围3如图，已知BC是O的弦，A是O外一点，ABC为正三角形，D为BC的中点，M为O上一点，并且BMC60（1）求证：AB是O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且EDF120，O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由4已知A，B，C，D是O上的四个点（1）如图1，若ADCBCD90，ADCD，求证：ACBD；（2）如图2，若ACBD，垂足为E，AB2，DC4，求O的半径5如图（1），ABC90，O为射线BC上一点，OB4，以点O为圆心，BO长为半径作O交BC于点D、E（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与O相切？请说明理由；（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与O相交于M、N两点（如图（2），MN，求的长6如图点P在线段AB上，P与x轴相切于D点，且与线段AO相切于C点，已知A、B两点的坐标分别是（8，6），（5，0），求：圆心P的坐标和P的面积7如图，O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在O上运动（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标；（3）设点A的横坐标为x，ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值8如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是O上一点，且AED45（1）判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若O半径为6cm，AE10cm，求ADE的正弦值9如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线的一点，AECD交DC的延长线于E，CFAB于F，且CECF（1）求证：DE是O的切线；（2）若AB6，BD3，求AE和BC的长10如图，AB为O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，AFC30（1）求证：CF为O的切线（2）若半径ONAD于点M，CE，求图中阴影部分的面积11已知RtABC的斜边AB，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2（2m+1）x+2m0的两个实数根（1）求m的值（2）求RtABC的内切圆的半径12如图，C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求C的半径及圆心C的坐标；（3）在C上是否存在一点P，使得POB是等腰三角形？若存在，请求出BOP的度数；若不存在，请说明理由13已知：，PB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧（1）如图，当APB45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小14对于钝角，定义它的三角函数值如下：sinsin（180），coscos（180）（1）求sin120，cos120，sin150的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2mx10的两个不相等的实数根，求m的值及A和B的大小15如图，将含30角的直角三角板ABC（A30）绕其直角顶点C顺时针旋转角（090），得到RtABC，AC与AB交于点D，过点D作DEAB交CB于点E，连接BE易知，在旋转过程中，BDE为直角三角形设BC1，ADx，BDE的面积为S（1）当30时，求x的值（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作E，当S时，判断E与AC的位置关系，并求相应的tan值16如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i1：（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）17某数学课外活动小组的同学利用所学的数学知识，测底部可以到达的学校操场上的旗杆AB高度，他们采用了如下两种方法：方法1：在地面上选一点C，测得CB为40米，用高为1.6米的测角仪在C处测得旗杆顶部A的仰角为28；方法2：在相同时刻测得旗杆AB的影长为17.15米，又测得已有的2米高的竹杆的影长为1.5米你认为这两种方法可行吗？若可行，请你任选一种方法算出旗杆高度（精确到0.1米）若不可行，自己另设计一种测量方法（旗杆顶端不能到达），算出旗杆高度（结果可用字母表示）18已知，如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB12千米，在B村的正北方向有一个D村，测得DAB45，DCB28，今将ACD区域进行规划，除其中面积为0.5平方千米的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地（1）求BC的长（2）求绿化地的面积（结果精确到0.1，sin280.4695，sin620.8829，tan280.5317，tan621.8808）19如图（1），将RtAOB放置在平面直角坐标系xOy中，A90，AOB60，OB，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，AOB的平分线OC交AB于C动点P从点B出发沿折线BCCO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线COOy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动（1）OC、BC的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值20如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）将正方形OABC绕点O逆时针旋转角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是 ；（2）试用含m和的代数式表示线段CM的长： ；的取值范围是 21九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到EFB36，那么的度数是 ；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH（sin720.95，cos720.3，tan723）22已知：在ABC中ABAC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，BAEBDF，点M在线段DF上，ABEDBM（1）如图1，当ABC45时，求证：AEMD；（2）如图2，当ABC60时，则线段AE、MD之间的数量关系为： （3）在（2）的条件下延长BM到P，使MPBM，连接CP，若AB7，AE，求tanACP的值答案与解析1如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且PDAPBD延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为O的切线，并说明理由；（2）如果BED60，求PA的长（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得ADB90，进而求得ADO+PDA90，即可得出直线PD为O的切线；（2）根据BE是O的切线，则EBA90，即可求得P30，再由PD为O的切线，得PDO90，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得ADFPDAPBDABF，由AB是圆O的直径，得ADB90，设PBDx，则可表示出DAFPAD90+x，DBF2x，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出BDE是等边三角形进而证出四边形DFBE为菱形2已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AECF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合（1）求四边形AEOF的面积（2）设AEx，SOEFy，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围【分析】（1）先根据BC为半圆O的直径，OA为半径，且OABC求出BOAF45，再根据全等三角形的判定定理得出BOEAOF，再根据S四边形AEOFSAOB即可得出答案；（2）先根据圆周角定理求出BAC90，再根据ySOEFS四边形AEOFSAEF即可得出答案3如图，已知BC是O的弦，A是O外一点，ABC为正三角形，D为BC的中点，M为O上一点，并且BMC60（1）求证：AB是O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且EDF120，O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【分析】（1）连结OB、OD、OC，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得ODBC，BODCOD，再根据圆周角定理得BODM60，则OBD30，所以ABO90，于是根据切线的判定定理得AB是O的切线；（2）作DHAB于H，DNAC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分BAC，BAC60，则利用角平分线性质得DHDN，根据四边形内角和得HDN120，由于EDF120，所以HDENDF，接着证明DHEDNF得到HENF，于是BE+CFBH+CN，再计算出BHBD，CNDC，则BE+CFBC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边ABC边长的一半，再计算BC的长即可4已知A，B，C，D是O上的四个点（1）如图1，若ADCBCD90，ADCD，求证：ACBD；（2）如图2，若ACBD，垂足为E，AB2，DC4，求O的半径【分析】（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF根据直径所对的圆周角是直角，得DCFDBF90，则BFAC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF弧AB，则CFAB根据勾股定理即可求解5如图（1），ABC90，O为射线BC上一点，OB4，以点O为圆心，BO长为半径作O交BC于点D、E（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与O相切？请说明理由；（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与O相交于M、N两点（如图（2），MN，求的长【分析】（1）要求当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与O相切，就要先利用切线的性质画出图形，从图中可以看出旋转的度数就是ABC的度数然后利用图形来计算从图中可看出，OGOB的一半，所以角PBG30，所以当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60或120时与O相切；（2）由勾股定理边的关系可知弧所对的圆心角是一个直角，然后利用弧长公式计算6如图点P在线段AB上，P与x轴相切于D点，且与线段AO相切于C点，已知A、B两点的坐标分别是（8，6），（5，0），求：圆心P的坐标和P的面积【分析】过A作AEx轴于E，PFx轴交OA于F，连接OP、PC、PD，由勾股定理求出OA10，求出PCPD，根据角平分线性质和平行线性质求出FOPFPO，推出PFOF，根据平行线性质得出比例式，求出，求出r2，求出BD、OD，得出P的坐标7如图，O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在O上运动（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标；（3）设点A的横坐标为x，ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值【分析】（1）需要分两种情况讨论，点A在x轴负半轴，点A在x轴的正半轴，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标（2）根据题意画出图形，点A在上半圆上，点A在下半圆上，8如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是O上一点，且AED45（1）判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若O半径为6cm，AE10cm，求ADE的正弦值【分析】（1）首先连接OD，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可证得ODAB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得ODCD，即可证得CD与O相切；（2）首先过点O作OFAE，连接OE，由垂径定理可得AF5cm，AOFAOE，又由圆周角定理可得ADEAOE，继而证得AOFADE，然后在RtAOF中，求得sinAOF的值，即可求得答案9如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线的一点，AECD交DC的延长线于E，CFAB于F，且CECF（1）求证：DE是O的切线；（2）若AB6，BD3，求AE和BC的长【分析】要证DE是O的切线，只要连接OC，再证DCO90即可10如图，AB为O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，AFC30（1）求证：CF为O的切线（2）若半径ONAD于点M，CE，求图中阴影部分的面积【分析】（1）由CD垂直平分OB，得到E为OB的中点，且CD与OB垂直，又OBOC，可得OE等于OC的一半，在直角三角形OEC中，根据锐角三角函数的定义，得到sinECO的值为，可得ECO为30，进而得到EOC为60，又CFO为30，可得OCF为直角，由OC为圆O的半径，可得CF为圆的切线；（2）由（1）得出的COF60，根据对称性可得EOD为60，进而得到DOA120，由OAOD，且OM与AD垂直，根据“三线合一”得到DOM为60，在直角三角形OCE中，由CE的长及ECO30，可求出半径OC的长，又在直角三角形OMD中，由MDO30，半径OD2，可求出MD及OM的长，然后利用扇形ODN的面积减去三角形ODM的面积即可求出阴影部分的面积11已知RtABC的斜边AB，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2（2m+1）x+2m0的两个实数根（1）求m的值（2）求RtABC的内切圆的半径【分析】（1）根据根与系数的关系得到AC+BC2m+1，ACBC2m，求出AC2+BC24m2+1，根据勾股定理得出方程即可求出m；（2）求出方程的解得出AC、BC，连接OD、OF，根据三角形的内切圆求出ODCOFC90C，推出四边形ODCF是正方形，根据正方形的性质得出ODOFCDCF，根据切线长定理得出ACOD+BCODAB，代入求出即可12如图，C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求C的半径及圆心C的坐标；（3）在C上是否存在一点P，使得POB是等腰三角形？若存在，请求出BOP的度数；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据A、B的坐标，即可求得OA、OB的长，进而可根据勾股定理求出AB的长；（2）由于AOB90，由圆周角定理知AB即为C的直径，根据AB的长即可求得C的半径；若过C作y轴的垂线，根据三角形中位线定理，很明显的可以看出C点横坐标是B点横坐标的一半，C点纵坐标是A点纵坐标的一半，由此得解；（3）由图知：若POB是等腰三角形，则P点一定是OB垂直平分线与C的交点，可据此求出P点的坐标及BOP的度数13已知：，PB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧（1）如图，当APB45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小【分析】（1）作辅助线，过点A作AEPB于点E，在RtPAE中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在RtPPB中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在RtAEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PBPP+PB可求PB的最大值，此时APB180APP13514对于钝角，定义它的三角函数值如下：sinsin（180），coscos（180）（1）求sin120，cos120，sin150的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2mx10的两个不相等的实数根，求m的值及A和B的大小【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；（2）分三种情况进行分析：当A30，B120时；当A120，B30时；当A30，B30时，根据题意分别求出m的值即可15如图，将含30角的直角三角板ABC（A30）绕其直角顶点C顺时针旋转角（090），得到RtABC，AC与AB交于点D，过点D作DEAB交CB于点E，连接BE易知，在旋转过程中，BDE为直角三角形设BC1，ADx，BDE的面积为S（1）当30时，求x的值（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作E，当S时，判断E与AC的位置关系，并求相应的tan值【分析】（1）根据等腰三角形的判定，A30，得出x1；（2）由直角三角形的性质，AB2，AC，由旋转性质求得ADCBCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；（3）当S时，求得x的值，判断E和DE的长度大小，确定E与AC的位置关系，再求tan值16如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i1：（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H在RtEFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在RtADH中求出AH的长；由AFFG+GHAH求出AF的长（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积17某数学课外活动小组的同学利用所学的数学知识，测底部可以到达的学校操场上的旗杆AB高度，他们采用了如下两种方法：方法1：在地面上选一点C，测得CB为40米，用高为1.6米的测角仪在C处测得旗杆顶部A的仰角为28；方法2：在相同时刻测得旗杆AB的影长为17.15米，又测得已有的2米高的竹杆的影长为1.5米你认为这两种方法可行吗？若可行，请你任选一种方法算出旗杆高度（精确到0.1米）若不可行，自己另设计一种测量方法（旗杆顶端不能到达），算出旗杆高度（结果可用字母表示）【分析】方法1：在直角三角形AED中，利用BC的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AB的长方法2：根据物高与影长的关系，将实际问题转化为数学问题18已知，如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB12千米，在B村的正北方向有一个D村，测得DAB45，DCB28，今将ACD区域进行规划，除其中面积为0.5平方千米的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地（1）求BC的长（2）求绿化地的面积（结果精确到0.1，sin280.4695，sin620.8829，tan280.5317，tan621.8808）【分析】（1）在RtABD中，由DAB45，可得出BDA45，故DBAB12，在RtBCD中利用锐角三角函数的定义即可求出BC的长；（2）根据S绿化地SACDS池塘（AC+BD）120.5即可得出结论19如图（1），将RtAOB放置在平面直角坐标系xOy中，A90，AOB60，OB，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，AOB的平分线OC交AB于C动点P从点B出发沿折线BCCO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线COOy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动（1）OC、BC的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值【分析】（1）先在直角三角形AOB中根据OB和cos60，利用三角函数的定义求出OA，然后根据角平分线的定义得到AOC等于30，在AOC中，利用OA和cos30，由三角函数的定义即可求出OC的长，根据等角对等边可知BC等于OC；（2）分两种情况考虑：第一，P在BC边上，根据速度和时间t得到PB等于CQ都等于t，过Q作DE与AC垂直，QE等于CQsin60，CP等于BC减去PB，利用三角形的面积公式即可列出S与t的函数关系式；第二，当P在边CQ上时，同理可得S与t的关系式；（3）分三种情况考虑：第一，OP为等腰三角形的底边时，由MOP等于MPO都等于30，则QOP为60，得到PQ与OQ垂直，根据30所对的直角边等于斜边的一半得到OP等于2OQ，分别表示出OP和OQ代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第二，当OP为等腰三角形的腰时，过P作PNOQ，得到QPN45，所以QPN为等腰直角三角形得到PNQN，分别表示出PN和QN列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第三，当OPPM时，PQy，不存在三角形20如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）将正方形OABC绕点O逆时针旋转角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是垂直；（2）试用含m和