2018_2019年高中数学第一章计数原理课时跟踪训练8“杨辉三角”与二项式系数的性质.docx

课时跟踪训练(八) “杨辉三角”与二项式系数的性质 (时间45分钟)题型对点练(时间20分钟)题组一与杨辉三角有关的问题1杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A第6行 B第7行C第8行 D第9行解析由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除答案B2如图数表满足：第n行首尾两数均为n；图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是_解析由图中数字规律可知，第n行的第2个数是123(n1)11.答案3将“杨辉三角”中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表从上往下数，第1次全行数都为1的是第1行，第2次全行数都为1的是第3行，第n次全行数都为1的是第_行；第61行中的1的个数是_解析写出01三角数表的前面几行，如图可以看出第1次全行数都为1的是第1行共2个1，第2次全行数都为1的是第3行共4个1，第3次全行数都为1的是第7行共8个1，第4次全行数都为1的是第15行共16个1，所以第n次全行数都为1的是第(2n1)行共2n个1.故填2n1.而且第(2n2)行与第(2n3)行中分别都有2n1个1，所以当n6时，2n126163，第63行全是1(第6次全行数都为1)，第61行共有2612532个1.故填32.答案2n132题组二求展开式的系数和4(2x1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为()A. B.C. D解析设(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，令x1，得1a0a1a2a10，再令x1，得310a0a1a2a3a9a10，两式相减可得，a1a3a9，故选B.答案B5设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.解析利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，而项的系数互为相反数，即a10a110.答案06设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.解(1)令x0，可得a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，(*)所以a1a2a100(2)1002100，(3)令x1.可得a0a1a2a3a100(2)100.与(*)式联立相减得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)(2)10011001.(5)Tr1(1)rC2100r()rxr，a2r10(rN*)|a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2)100.题组三展开式中的最大值问题7(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为()A第5项 B第6项或第7项C第6项 D第7项解析T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8.所以(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41120x4.故选A.答案A8.10的展开式中，系数最大的项为()A第6项 B第3项C第3项和第6项 D第5项和第7项解析展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等由于二项式系数的最大项为T6，且T6Cx55C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小而T5Cx64Cx2，T7Cx46Cx2，且CC.所以系数最大的项为第5项和第7项故选D.答案D9(1x)13的展开式中系数最小的项为()A第6项 B第7项C第8项 D第9项解析展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项故选C.答案C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5()A32 B1 C243 D1或243解析(ax)5展开式的通项为Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.答案B2已知(12x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是()A第3项 B第4项C第5项 D第6项解析设(12x)2na0a1xa2x2a3x3a2n1x2n1a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1a3a5a2n1.分别令x1，x1，得两式相减，得a1a3a5a2n1.由已知，得364，32n72936，即n3.(12x)2n(12x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.答案B3(1axby)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()Aa2，b1，n5Ba2，b1，n6Ca1，b2，n6Da1，b2，n5解析根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决只要令x0，y1，即得到(1axby)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1b)n，令x1，y0，即得到(1axby)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y1，x0；x1，y0.此时的和式分别为(1b)n，(1a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1|b|)n，(1|a|)n.根据题意(1|b|)n24335，(1|a|)n3225，因此n5，|a|1，|b|2.故选D.答案D二、填空题4若(x)10a0a1xa2x2a10x10，则(a0a2a10)2(a1a3a9)2_.解析令x1，得：a0a1a2a10(1)10，令x1得：a0a1a2a3a10(1)10，故(a0a2a10)2(a1a3a9)2(a0a1a2a10)(a0a1a2a3a10)(1)10(1)101.答案15设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai)，(i0,1,2)的位置如图所示，则a_.解析由题意知，A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)故a01，a13，a24.由n的展开式的通项公式知，Tr1Cr(r0,1,2，n)故3，4，解得a3.答案3三、解答题6在(2x3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和解在(2x3y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为CCC2101024.(2)奇数项的二项式系数的和为CCC29512.偶数项的二项式系数的和为CCC29512.(3)设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10(*)，各项系数之和即为a0a1a2a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解令(*)中xy1，得各项系数之和为(23)10(1)101.(4)奇数项系数的和为a0a2a4a10，偶数项系数的和为a1a3a5a9.由(3)知a0a1a2a101.令(*)中x1，y1，得a0a1a2a3a10510.，得2(a0a2a10)1510，故奇数项系数的和为；，得2(a1a3a9)1510，故偶数项系数的和为.7在(3x2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项解(1)二项式