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5.4.1柯西不等式三维目标1.掌握柯西不等式的基本形式和特点，了解其相关背景知识.2.会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想.3.能用柯西不等式解决一些较简单的问题，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.教学重点与难点重点：柯西不等式难点：柯西不等式的应用教学过程一、创设情境在上一节，我们用比较法证明了柯西不等式(a2b2)(c2+d2)(acbd)2有没有其它证法？二、学生活动构造函数法f(x)=(a2+b2)x22(ac+bd)x+(c2+d2)=(axc)2+(bxd)20所以4(ac+bd)24(a2+b2)(c2+d2)0看着柯西不等式(a2b2)(c2+d2)(acbd)2，你有何联想？数形结合设向量(a,b)，(c,d)，则|2a2b2，|2c2d2，acbd，从而|.三、建构数学定理1设a,b,c,d均为实数，则(a2b2)(c2+d2)(acbd)2其中等号当且仅当adbc时成立.说明：这一形式通常称为柯西不等式的代数形式.定理2设，为平面上的两个向量，则|其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立.定理3(三角形不等式)设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？点P2(x2,y2)在线段P1P3上，其中P1(x1,y1), ,P3(x3,y3).定理4设n是大于1的自然数，ai,bi(i1,2,3,n)为任意实数，则，其中等号当且仅当时成立(当ai0时，约定bi0，i1,2,3,n).推论在n个实数a1,a2,an的和为定值S时，它们的平方和不小于，当且仅当a1a2an时，平方和取最小值.四、数学运用例1已知a2+b2=1,x2+y2=1，求证：|ax+by|1.证明：由柯西不等式得(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2)1，所以|ax+by|1.例2设a,b,c,dR，证明：分析：例3设,为平面上的向量，则|+|.证：设(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，则(x1x2,y1y2),(x2x3,y2y3),(x1x3,y1y3),从而|根据三角形不等式，即得|+|.例4已知三个正数a,b,c的和是1，求证：这三个正数的倒数和不小于9.证由a,b,c是正数及柯西不等式有因为a+b+c1,所以例5已知a1,a2,an为实数，求证：.分析：证明：其中等号当且仅当a1a2an时成立.四、总结提炼数学思想方法
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