统计学第7章抽样调查及参数估计(第二版)

欢迎学习统计学课程,主讲：王光玲,2020/4/30,2,客观现象数量表现,统计总体数量特征,统计研究的程序,统计研究目的,统计设计,推断分析描述分析,收集数据,整理数据,2020/4/30,3,参数估计在统计方法中的地位,2020/4/30,4,第7章抽样调查及参数估计,PowerPoint,2020/4/30,5,第7章抽样调查及参数估计,本章相关内容：学习目标重点、难点教学内容参考资料,2020/4/30,6,学习目标,1.理解概率抽样方法2.理解抽样误差与抽样分布3.理解估计量与估计值的概念4.明确点估计与区间估计的区别5.明确评价估计量优良性的标准6.掌握总体均值的区间估计方法7.掌握总体比例的区间估计方法8.掌握样本容量的确定方法,2020/4/30,7,1.一个总体参数的区间估计方法2.两个总体参数的区间估计方法(不讲),重点、难点,2020/4/30,8,教学内容,7.1抽样与抽样分布7.2参数估计的基本方法7.3总体均值的区间估计7.4总体比例的区间估计7.5样本容量的确定,2020/4/30,9,7.1抽样与抽样分布,一、什么是抽样推断二、抽样方式与方法三、抽样误差四、抽样分布五、抽样推断中常用的统计量及其分布,2020/4/30,10,一、抽样推断（概念要点）(见P177),抽样推断是根据观测到的样本数据对总体参数作出推测。这种推测伴随某种不确定性，需要用概率来表示其可靠程度，这是统计推断的一个重要特点。,2020/4/30,11,一、抽样推断(特点)(见P177),抽样推断的特点：（1）遵循随机原则抽取样本单位。（2）推断被调查对象的总体特征。（3）抽样推断的误差可以计算并能够加以控制。,2020/4/30,12,一、抽样推断(推断过程),2020/4/30,13,一、抽样推断(相关概念),抽样单元（Samplingunit）：将总体划分成互不重迭且又穷尽的若干部分，每个部分称为一个抽样单元。每个抽样单元都是由若干个体组成的集合。如果抽样单元只由一个个体组成就称为最小抽样单元。抽样框（Samplingframe）：关于抽样单元的名册或清单。当抽样单元有不同级别之分时，相应地应建立不同级别的抽样框。,2020/4/30,14,二、抽样方式方法,抽样方式与方法,2020/4/30,16,三、抽样误差,2020/4/30,17,抽样误差,概念：由于按随机原则抽样而产生的样本统计量与总体参数之间的代表性误差。抽样误差的类型：（一）实际抽样误差（二）抽样平均误差,2020/4/30,18,（一）实际抽样误差,指某一具体样本的估计值与总体参数的真实值之间的离差。,2020/4/30,19,1.由于所有可能样本估计值分布在总体参数的周围，因此，样本估计量的标准差实际上反映的是所有可能样本估计值与总体参数的平均差异程度，所以统计上把样本估计量的标准差定义为抽样平均误差。,参数用表示，估计量用表示,（二）抽样平均误差,2020/4/30,20,（二）抽样平均误差,2.抽样平均误差概括地反映了所有可能样本估计值与总体参数之间的平均差异程度。可衡量样本对总体代表性的大小，抽样平均误差越小，样本估计值的分布就越集中在总体参数的附近，即样本对总体的代表性越大。,2020/4/30,21,抽样平均误差公式,数理统计证明：抽样平均误差与总体标准差、抽样数目和抽样方法有关在重复抽样条件下：均值的抽样平均误差比例的抽样平均误差,2020/4/30,22,抽样平均误差公式,在不重复抽样条件下：均值的抽样平均误差比例的抽样平均误差,2020/4/30,23,四、抽样分布,2020/4/30,24,1.样本统计量（如均值、比例、方差等）的概率分布，是一种理论概率分布。在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布或概率分布。2.样本统计量是随机变量。样本均值,样本比例，样本方差等。3.结果来自容量相同的所有可能样本。4.提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据。,抽样分布(samplingdistribution),2020/4/30,25,抽样分布的基本类型：,（一）样本均值的抽样分布（二）样本比例的抽样分布,2020/4/30,26,（一）样本均值的抽样分布（见P185）,2020/4/30,27,1.在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布。2.是一种理论概率分布3.是推断总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,2020/4/30,28,样本均值抽样分布的特征值(数学期望),设总体的均值是，方差是2，从中抽取容量为n的样本，则在重复抽样和不重复抽样条件下：1.样本均值的数学期望,2020/4/30,29,样本均值的抽样分布(方差),2.样本均值的方差重复抽样不重复抽样当抽样比n/时，修正系数可以忽略不计。,中心极限定理(见P186)(centrallimittheorem),从均值为，方差为2的一个任意总体（非正态分布）中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,2020/4/30,31,抽样分布与总体分布的关系,2020/4/30,32,（二）样本比例的抽样分布(见P187),2020/4/30,33,比例(成数)(proportion),1.总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比。合格品(或不合格品)与全部产品总数之比2.总体比例可表示为3.样本比例可表示为,2020/4/30,34,1.在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布。2.当样本容量很大时（np5或n(1-p)5），样本比例的抽样分布可用正态分布近似。3.一种理论概率分布。4.推断总体比例的理论基础。,样本比例的抽样分布,2020/4/30,35,样本比例的抽样分布(数学期望与方差),1.样本比例的数学期望2.样本比例的方差重复抽样不重复抽样当抽样比n/N5%时，修正系数,2020/4/30,36,五、抽样推断中常用的统计量及其分布,2020/4/30,37,（一）Z统计量及其分布（见P187）,2020/4/30,38,标准正态分布,设随机变量XN(,2)，n个随机变量X1，X2，Xn为X的一个简单随机样本，则样本均值N(,2/n)将其标准化，得到Z统计量及其分布：,2020/4/30,39,（二）t统计量及其分布(见P190),t统计量的分布,2020/4/30,41,t分布的性质,1.t分布的均值为02.t分布是一个均匀对称的分布3.取值范围在-与之间，曲线以x轴为渐进线4.t分布方差大于1，与标准正态分布比，t分布中心略低，两尾部较高，自由度越小，差别越明显。5.随着样本容量（自由度n-1）不断增大，t分布越来越趋近于标准正态分布，并以标准正态分布为极限。在小样本的统计推断中，t分布具有重要作用,2020/4/30,42,7.2参数估计的基本方法,估计量与估计值参数估计的方法评价估计量的标准,2020/4/30,43,一、估计量与估计值(见P197),2020/4/30,44,估计量与估计值(estimator&estimatedvalue),2020/4/30,45,二、参数估计的方法(见P197),2020/4/30,46,参数估计的方法,2020/4/30,47,（一）点估计(pointestimate),1.用样本估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。例如：用样本均值直接作为总体均值的估计。,2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息。虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值。一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量。,2020/4/30,48,（二）区间估计（intervalestimate）,在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到。1.概念：根据样本估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围。2.给出总体参数落在这一区间的概率。例如:总体均值落在7585之间，置信度为95%,2020/4/30,49,区间估计示意图（以总体均值的区间估计为例）,2020/4/30,50,置信区间(confidenceinterval),设总体参数为，为由样本确定的统计量，对于给定的若满足称随机区间是参数的置信水平为的置信区间,置信水平（1-）,2020/4/30,51,置信水平(1-,2020/4/30,52,置信区间与置信水平,均值的抽样分布,(1-)%区间包含了%的区间未包含,用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,-a/2,a/2,2020/4/30,53,区间估计的公式,点估计值抽样极限误差估计误差(边际误差或误差范围)=概率度抽样平均误差,2020/4/30,54,影响区间宽度的因素,1.置信水平(1-)，影响Z的大小当样本量给定时，置信区间的宽度随着置信系数的增大而增大。从直觉上说，区间比较宽时，才会使这一区间有更大的可能性包含参数的真值。2.样本容量n当置信水平固定时，置信区间的宽度随样本量的增大而减小。换言之，较大的样本所提供的有关总体的信息要比较小的样本多。,2020/4/30,55,区间估计的基本要求,区间估计的两个基本要求：置信度：希望区间包含的概率越大越好（即估计的可靠性）精确度：希望区间的平均长度越短越好（即估计的精确性）,2020/4/30,56,三、评价估计量的标准(P199),无偏性(unbiasedness),无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数,的抽样分布,有效性(efficiency),有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效,一致性(consistency),一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数,样本均值是总体均值的一致估计量！,2020/4/30,60,7.3总体均值的区间估计,正态总体或大样本的估计正态总体小样本的估计,2020/4/30,61,正态总体、已知，或非正态总体、大样本的估计（见P200）,2020/4/30,62,正态总体或非正态总体、大样本(已知),1.假定条件总体服从正态分布,方差()已知非正态分布，可由正态分布来近似(n30)使用正态分布统计量,2020/4/30,63,正态总体或非正态总体、大样本(已知),2、总体均值在1-置信水平下的置信区间为,重复抽样,不重复抽样,2020/4/30,64,正态总体(已知,例题分析),【例1】某种零件的长度服从正态分布，从某天生产一批零件中按重复抽样方法随机抽取9个，测得其平均长度为21.4cm。已知总体标准差为=0.15cm。试估计该批零件平均长度的置信区间，置信水平为95%。,解：已知N(，0.152)，n=9,1-=95%，z/2=1.96,我们可以95的概率保证该批零件平均长度在21.302cm21.498cm之间,总体均值的置信区间为：,2020/4/30,65,练习题：P216第1、2、3题,2020/4/30,66,正态总体、未知，或非正态总体、大样本的估计（见P202）,2020/4/30,67,正态总体或非正态总体大样本(未知),1、假定条件总体服从正态分布，方差()未知非正态分布，样本容量足够大时(n30)，用S2n-1代替2、使用正态分布统计量,2020/4/30,68,正态总体或非正态总体大样本(未知),3、总体均值在1-置信水平下的置信区间为,重复抽样,不重复抽样,总体均值的区间估计(未知,例题分析),【例1】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间,2020/4/30,70,总体均值的区间估计(未知,例题分析),解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。总体均值在1-置信水平下的置信区间为,投保人平均年龄90%的置信区间为37.37岁41.63岁,2020/4/30,71,正态总体、未知、小样本的估计(见P203),2020/4/30,72,总体均值的区间估计(小样本),1.假定条件总体服从正态分布,未知，用S2n-1代替小样本(n30)2.使用t分布统计量,总体均值在1-置信水平下的置信区间为,2020/4/30,73,总体均值的区间估计(小样本),2020/4/30,74,总体均值的区间估计(例题分析),【例1】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,2020/4/30,75,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知N(，2)，n=16,1-=95%，t/2（15）=2.489根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命95%的置信区间为1476.81503.2小时,2020/4/30,76,5.4总体比例的区间估计,大样本重复抽样时的估计方法大样本不重复抽样时的估计方法,2020/4/30,77,总体比例的区间估计(重复抽样)(见P205),1.假定条件总体服从二项分布当样本量足够大时，可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量,3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为,2020/4/30,78,总体比例的区间估计(不重复抽样),1.假定条件总体服从二项分布当样本量足够大时，可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量,3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为,2020/4/30,79,总体比例的区间估计(例题分析),【例1】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知n=100，p65%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例95%的置信区间为55.65%74.35%,总体比例的区间估计(例题分析),【例2】某企业共有职工1000人。企业准备实行一项改革，在职工中征求意见，采取不重复抽样方法随机抽取200人作为样本，调查结果显示，有150人表示赞成该项改革，50人表示反对。试以95%的概率确定赞成改革的人数比例的置信区间,解：已知n=200，p75%，z/2=1.96,该企业职工中赞成改革的人数比例95%的置信区间为69.63%80.37%之间,2020/4/30,81,练习题：P216第5、6题,2020/4/30,82,5.5样本容量的确定,估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定,2020/4/30,83,估计总体均值时样本容量的确定（见P211）,估计总体均值时样本量的确定,1.令代表边际误差2.样本量n与总体方差2、边际误差、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差的平方成反比与可靠性系数成正比3.圆整法则：小数点后面的数值一律进位成整数，如24.68取25，24.32也取25等等,2020/4/30,85,估计总体均值时样本容量的确定(例题分析),【例1】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？,2020/4/30,86,估计总体均值时样本容量的确定(例题分析),解:已知=2000，=400,1-=95%，z/2=1.96应抽取的样本容量为,应抽取97人作为样本。,2020/4/30,87,估计总体比例时样本容量的确定(见P212),2020/4/30,88,估计总体比例时样本量的确定,1.根据比例区间估计公式可得样本量n为,2.的取值一般小于0.13.未知时，可用P代替；无法知道时