统计物理与热力学课程(陈培锋)第九讲

关于固体热容,20世纪初物理学的天空还漂浮着小小的“乌云”黑体辐射、光电效应、原子的稳定性、原子的线状光谱、低温下的固体热容,固体的热容量经典理论,固体中原子排列成晶体点阵,没有平移自由度和转动自由度,只有平衡点附近的振动自由度。假设原子独立振动,有相互垂直的三个振动自由度,每个原子平均具有热运动能量3kT,故固体的内能和摩尔热容量都应该是,杜隆(Dulong)-珀替(Petit)定律,几种固体在室温下的摩尔热容量,金刚石等几种硬度高的材料偏低是因为振动频率高,量子能级间隔比较大,“部分冻结”,固体热容量的经典困难,在低温范围,实验发现固体的热容量随温度降低得很快,当温度趋近绝对零度时,热容量也趋于零。这个事实经典理论不能解释。此外金属中存在自由电子,如果将能量均分定理应用于电子,自由电子的热容量与离子振动的热容量将具有相同的量级。实验结果是,在3K以上自由电子的热容量与离子振动的热容量相比,可以忽略不计，这个事实经典理论也不能解释。,可能猜测一下固体振动热容量吗,固体热容量的爱因斯坦理论,爱因斯坦理论在低温下只和实验结果定性一致。在定量上并不符合德拜理论,双原子的相对振动量子理论,利用了,相空间体积是相同的,能级的间隔也相同,能级简并度为1,量子统计,能级的量子化对统计物理的影响已经显现量子力学对称不变性对统计物理的影响呢？简并气体的特性-玻色爱因斯坦凝聚、电子气体、光子气体等,第九讲弱简并理想量子气体内能玻色-爱因斯坦凝聚,分子质量m为10-26kg量级,若L=10-2m,则0/k10-14K。,能不能把平动运动“冻结”,?,一、问题的引出,当,分子将“冻结”于平动的基态！,比较,要求TTd,此时早已不再满足MB分布要求的非简并条件条件,必须采用BE或FD分布,意味着要求,回顾第四讲：非简并条件三种表示,或,非简并、弱简并与简并气体,高温、低密度情形下量子统计法过渡为经典统计,满足这样条件的近独立粒子系统称为非简并气体反之,近独立粒子系统的平衡态分布只能用FD分布或BE分布,这样的系统称为简并气体弱简并气体,虽小但不可忽略的情形,二、弱简并理想玻色和费米气体,本节讨论弱简并即气体的或虽小但不可忽略的情形,可以初步显示玻色气体和费米气体的差异。为书写简便起见,将两种气体同时讨论。在有关公式中,上面的符号适用于费米气体,下面的符号适用于玻色气体。,能量间隔d内平动运动量子态数,平动运动能级连续分布,到+d分子可能的量子态数,系统的总分子数,系统的内能,g是粒子自旋而引入的简并度,积分式的简化,引入变量,在弱筒并的情形保留积分式中两项,仍很大,(8.2.6),(8.2.7),积分结果,两式相除得,利用了,(8.2.6)和(8.2.7),利用MB近似中的,(7.3.4),见p.196,第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能,第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能,费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负,可以认为量子统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用,玻色粒子间则出现等效的吸引作用。,注意后一项在7.5节中是不存在的,因为7.5节不考虑全同性原理引起的统计关联,弱简并理想玻色气体,令弱简并内能等于0对应的温度,实际是在一级近似下全部凝聚的温度,T下降,U下降能等于0吗？,但已不满足弱简并条件,三、Bose-Einstein凝聚,Bose-Einstein凝聚(BEC)是由统计物理预言的一种相变现象。1925年Einstein将Bose讨论光子的方法推广到实物粒子,理论上预言当温度降低到某一临界值后,理想气体的原子将在最低能级上凝聚。1995年美国三个研究小组相继宣布观察到了中性原子的BEC。2001年授予诺贝尔物理学奖-W.Ketterle,E.A.Cornell,C.E.Wieman论证BEC就是分析不同温度特别是低温下Bose粒子在不同能级上的分布问题,需要的公式,1、化学势的分析,由近独立玻色子组成的理想玻色气体,平衡态下l能级上的粒子数为省略上标BE,并令=-/kT(称为化学势),则,在外参量固定时,l、l不随T变化,因此al与T的关系主要由与T的关系决定,的定义,的定性变化特征,0,要保证al0,则要求因此0的能级,粒子数随着T降低而减少多出来的粒子到哪里去呢？基态！,玻色总粒子分成基态粒子和激发态粒子,因能级很密,求和换为积分,势阱中量子态数(g-自旋状态数),将=0单独列出,上式第一项是零动量态上的粒子数,计作。当Tc，不是大数,00的激发态a式中g0为基态的简并度。上述分析表明,绝对0度时玻色气体的全部粒子集中到基态上,形成一个“凝聚体”,称为玻色爱因斯坦凝聚(BE凝聚)(BEcondensation)。应注意：BE凝聚是动量空间(或速度空间)的凝聚。,TTc,BE凝聚,TTc时，是不大的数，因此，TTc时，零动量态上的粒子数所占比率实际可看作零。而当TTc时，零动量态上的粒子数占有显著的份额，T=0K时所有粒子都处于零动量态，这种现象叫做玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-EinsteinCondensation，BEC)，Tc是开始凝聚的临界温度,n0与T相变,4、简并温度与相变温度,德布罗意波长:热运动deBroglie波长大于原子的平均间距才能实现BEC.,Inmosteverydaymatter,thedeBrogliewavelengthismuchshorterthanthedistanceseparatingtheatoms.Inthiscase,thewavenatureofatomscannotbenoticed,andtheybehaveasparticles.ThewavenatureofatomsbecomenoticeablewhenthedeBrogliewavelengthisroughlythesameastheatomicdistance.Thishappenswhenthetemperatureislowenough,sothattheyhavelowvelocities.Inthiscase,thewavenatureofatomswillbedescribedbyquantumphysics,e.g.theycanonlystayatdiscreteenergystates(energyquantization).,deBroglie波长与粒子间距相当,当系统的能量很低时,只能取最低阶的能量值,一维自由平动子,5、BE凝聚是粒子凝聚到平动的基态,超冷世界的原子大合唱,玻色-爱因斯坦凝聚,1924年,Bose对黑体辐射(光子气体)提出一种新的统计方法,重新导出Planck辐射公式。投稿被拒后,求助于Einstein.Einstein将该文译成德文,并加注“是一个重要的进展”。192425,Einstein将该方法推广到实物粒子,相继发表了两篇文章,理论上预言了“condensation”,后来被称为Bose-EinsteinCondensation(BEC)192530s末,BEC的理论受到批评。,6、BEC的实现,物质的第五态,原则上,如能将气体冷到Tc以下,就可以实现BEC大多数情况下,在远高于BEC的Tc到达以前,已发生液化甚至固化的相变。为了实现原子气体的BEC,必须用极稀薄的气体。但又必须保持一定浓度才能有相关。例如铷原子气体,要求温度达到nK量级,原子密度达到1012/cm3以上。原子系统还不能有比较强的相互作用,因为当动能很低时，相互作用能量将占更大的比例,实现BEC实际上极困难,nK,n越小，Tc越低，对于比标准状态气体密度小5个量级的10141015cm-3，Tc大约为nK研究过4He、Cu2O、氢原子等，但都由于粒子间相互作用，不成功1995年美国科罗拉多大学，在172nK的87Rb蒸汽中观察到BEC同年Rice大学报道7Li中实现BEC，MIT在11月发表23Na蒸汽中实现BEC,LaserCooling(激光冷卻),Thetechniqueoflasercoolingwasdevelopedbythewinnersofthe1997NobelPrizewinners.Inthephysicalworld,thelowesttemperaturesapproachalimitof273oC.Thisiscalledtheabsolutezero.Nothingcanbeascoldastheabsolutezerobecauseallatomicandsubatomicmotionsstop.Lasercoolingcangettothelowtemperatureof0.18K(1K微開=10-6K).,Chu朱棣文斯坦福大学,Cohen-Tannoundji法国巴黎高等师范学院,Phillips美国国家标准与技术研究所,InterferencePattern(干涉圖像),WhentwoBose-Einsteincondensatesspreadout,theinterferencepatternrevealstheirwavenature.Seetheanimation:/ketterle_group/Animation_folder/TOFsplit.htm,实现BEC的途径,利用激光冷却和囚禁技术，获得大数目（-1010）、高密度（1011-1012cm-3)的超冷Bose气体（-10K）装入无器壁的静磁阱中；用蒸发冷却技术，将阱中的原子继续冷却，直至实现BEC,混合冷却实现BEC,科罗拉多大学Wieman在磁光阱中,用激光冷却并捕获约107个原子,20K;去除激光,急剧增加四极矩磁场,使原子弹性碰撞速率增大5倍,共4106个原子,21010/cm3,90K;用射频场释放出高动能原子,剩约2104个原子,21012/cm3,170nK;突然出现BEC,Laserbeam,多普勒冷却机制,原子处于弱的激光驻波场中,激光的频率稍低于原子共振频率原子不动时,两个行波场作用在原子上的力大小相等,合力为零；原子运动时,对于与原子运动方向相反的光束,原子感受到的频率更接近共振频率,吸收概率大；对于与原子运动方向同向的光束,原子感受到的频率更远离共振频率,吸收概率小；原子就受到一个与其运动方向相反的阻尼力。随着原子减速多普勒频移减小,单一频率的激光难以满足共振吸收,可以采用激光频率扫描,或者用塞曼效应改变共振频率,多普勒冷却的极限,极限温度TD由原子的自然线宽决定钠原子TD=240K,铷原子TD=140K,铯原子TD=125K1985年,朱棣文采用三对激光束进行激光冷却,实验测得钠原子气体温度为TD=240K,原子运动速度很慢,扩散1cm需要1s,没有光场时仅需要20ms,多普勒冷却的极限的突破,1986年后的一系列实验发现,TD不是激光冷却的真正极限温度。1988年,法国和斯坦福的小组分别提出了基于光抽运、光频移和激光偏振梯度等概念,提出了“偏振梯度冷却机制”,利用光抽运导致的原子在量子态上的重新分布、交流斯塔克效应引起的量子态能级的移动、偏振光的相干效应,使原子进一步降温到几个K,并进一步降低到了0.几个K,王育竹,激光冷却及其在科学技术中的应用,物理学进展,2005,25(4),蒸发冷却,与激光冷却并行发展,MIT的Hess1986提出用射频诱导静磁阱中高温原子从束缚态跃迁到非束缚态,剩下的原子热平衡后温度下降连续地将射频扫频,在损失一定原子数的条件下,可以快速将磁阱中的原子温度降低,7、理想玻色气体TTC热容,TTC热容在TC时达到最大,存在一个拐点,4He是玻色子,大气压下4He的沸点是4.2K,液4He在T2.17K发生一个相变,温度高于T时4He是正常液体,称为HeI,温度低于2.