线性代数课件第二章

,一、矩阵概念的引入,二、矩阵的定义,三、小结,1矩阵,1.线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵概念的引入,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,二、矩阵的定义,由个数排成的行列的数表,称为矩阵.简称矩阵.,记作,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,主对角线,副对角线,例如,是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.,例如,是一个3阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角矩阵(或对角阵）.,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,(5)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,例如,为同型矩阵.,线性变换.,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,若线性变换为,称之为恒等变换.,单位阵.,线性变换,这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.,例2设,解,三、小结,(1)矩阵的概念,(2)特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,思考题,矩阵与行列式的有何区别?,思考题解答,矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.,一、矩阵的加法,二、数与矩阵相乘,三、矩阵与矩阵相乘,四、矩阵的其它运算,五、小结,2.2矩阵的运算,、定义,一、矩阵的加法,设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为,说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,2、矩阵加法的运算规律,1、定义,二、数与矩阵相乘,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设为矩阵，为数）,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵与矩阵相乘,设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中,例,设,例2,故,解,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,、矩阵乘法的运算规律,（其中为数）;,若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且,注意矩阵不满足交换律，即：,例设,则,但也有例外，比如设,则有,例3计算下列乘积：,解,解,=(,）,解,例4,由此归纳出,用数学归纳法证明,当时，显然成立.,假设时成立，则时，,所以对于任意的都有,定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,转置矩阵的运算性质,例5已知,解法1,解法2,2、方阵的行列式,定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或,运算性质,3、对称阵与伴随矩阵,定义,设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明,例6设列矩阵满足,证明,例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,定义,行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵,性质,证明,则,称为矩阵的伴随矩阵.,4、共轭矩阵,故,同理可得,运算性质,（设为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,思考题,成立的充要条件是什么?,思考题解答,答,故成立的充要条件为,3逆矩阵,一、概念的引入,二、逆矩阵的概念和性质,三、逆矩阵的求法,四、小结,则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数时，,有,其中为的倒数，,（或称的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵，,如果存在一个矩阵,使得,二、逆矩阵的概念和性质,例设,说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.,若设和是的可逆矩阵，,则有,可得,所以的逆矩阵是唯一的,即,例设,解,设是的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,定理1矩阵可逆的充要条件是，且,证明,若可逆，,按逆矩阵的定义得,证毕,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,推论,证明,逆矩阵的运算性质,证明,证明,例1求方阵的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,同理可得,故,解,例2,例3设,解,于是,例4,例5,解,给方程两端左乘矩阵,给方程两端右乘矩阵,得,给方程两端左乘矩阵,得,给方程两端右乘矩阵,解,例6,解,例7,四、小结,逆矩阵的概念及运算性质.,逆矩阵的计算方法,逆矩阵存在,4矩阵分块法,一、矩阵的分块,二、分块矩阵的运算规则,三、小结,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,例,即,即,二、分块矩阵的运算规则,例,分块对角矩阵的行列式具有下述性质:,例1设,解,则,又,于是,例2,其中,其中,例3设,解,三、小结,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.,(1)加法,(2)数乘,(3)乘法,分块矩阵之间的运算,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,(4)转置,(5)分块对角阵的行列式与逆阵,矩阵的定义,方阵列矩阵行矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵,同型矩阵和相等矩阵,零矩阵单位矩阵,交换律,结合律,矩阵相加,运算规律,数乘矩阵,矩阵相乘,运算规律,n阶方阵的幂,方阵的运算,方阵的行列式,运算规律,转置矩阵,一些特殊的矩阵,对称矩阵,反对称矩阵,幂等矩阵,正交矩阵,对角矩阵,对合矩阵,上三角矩阵,主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵,下三角矩阵,主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵,伴随矩阵,定义,逆矩阵,相关定理及性质,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,分块矩阵,一、矩阵的运算,二、逆矩阵的运算及证明,三、矩阵的分块运算,典型例题,例计算,一、矩阵的运算,解,解,由此得,例,例,解,方法一用定义求逆阵,二、逆矩阵的运算及证明,注,方法二,注此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵不适用,分析,矩阵方程,解,证,例,三、矩阵的分块运算,同理可得：,例6,解,（）根