简明通信原理第2章信号和频谱

第2章信号和频谱,2.2.2傅里叶变换一个非周期确知信号s(t)的傅里叶（Fourier）变换：（2-2-5）称为该信号的频谱密度，简称频谱。的傅里叶反变换就是原信号：（2-2-6）这对傅里叶变换关系可简记为当引入冲激函数之后，傅里叶变换对周期信号和非周期信号都适用。,【例2-2】试求幅为A，宽为的单个矩形脉冲（门函数）的频谱。解：对该信号进行傅里叶变换可得其频谱为式中，称为抽样函数，且有。谱的第1个零点频率为。图2-3矩形脉冲信号及其频谱函数,第一零点f=1/,评注：（1）非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱。（2）信号带宽与脉冲持续时间（脉宽）成反比，即。这意味着，若要压缩信号的持续时间则以展宽频带为代价。主瓣宽度（指第一个零点频率范围）定义为信号带宽(零点带宽)：注意：带宽是指正频率部分的频谱宽度。,可见，脉宽越窄，B越宽。,【例2-3】已知，求的频谱（密度）。解：利用欧拉公式可得根据傅里叶变换的频移特性可得另一解法：利用傅里叶变换的频域卷积性质求解。评注：上式通常称为调制定理，它在通信系统中的调制与解调过程中经常用到。,2.3随机过程,本节内容是本课程的数学基础，因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，需要用随机过程的理论来描述。随机过程的基本概念和数字特征；平稳、高斯、窄带过程的统计特性；随机过程通过线性系统；高斯白噪声的统计特性。,2.4平稳随机过程,2.4.1平稳性严（狭义）平稳：随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。宽（广义）平稳：均值与t无关自相关函数仅与时间间隔有关严平稳必然宽平稳，反之不一定（高斯例外）。通信系统中的信号与噪声大多可视为宽平稳过程。,2.5高斯随机过程正态随机过程,是一种最常见，最易处理的随机过程。例如：通信系统里的热噪声。2.5.1定义与特性高斯过程的n维（n=1，2，）分布都服从正态分布。高斯过程的统计特性完全由它的数字特征决定。它的一维分布完全可由均值和方差来描述。（1）若高斯过程是宽平稳的，则也是严平稳的。（2）若高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的。（3）高斯过程经过线性系统后的过程仍是高斯过程。以上几个性质在对高斯过程进行数学处理时十分有用。,2.6随机过程通过线性系统,对于线性时不变系统，其输出过程是输入过程与系统单位冲激响应的卷积，即根据上式，若给定的统计特性，则可求得的统计特性，结果如表2-5所示。表2-5平稳随机过程通过线性系统表2-5中，为线性系统的频率响应，且；H(0)是线性系统在处的频率响应，即直流增益；是线性系统的功率增益。,两个重要结论：结论1：对于均值为零、方差为的平稳高斯窄带过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，且均值皆为零，方差都等于（相当于平均功率相等）。结论2：,2.8通信系统中的噪声,例子：电子设备中的电阻性器件所产生的热噪声，它是一种零均值的高斯白噪声。常被用作信道中的噪声模型。2.8.1白噪声白噪声是一种带宽无限的平稳过程，它具有恒定的功率谱密度和尖锐的自相关函数：式中，是一个常数，表示单边功率谱密度，单位是瓦/赫。,白噪声仅在（同一时刻）时的取值才相关。若白噪声的取值服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。,2.8.2带限白噪声这是白噪声通过带宽有限的信道或滤波器的情形。常见形式有：设低通或带通滤波器的频率特性函数为，则白噪声通过的输出噪声的功率谱为（2-8-3）的积分面积等于输出噪声功率：（2-8-4）,为了便于计算，引入等效噪声带宽（或称等效矩形带宽）Bn，而Bn正是滤波器的功率传输函数的等效矩形宽度。利用等效噪声带宽Bn的概念，实际滤波器的特性可以用矩形滤波器的特性（见图中虚线）来等效。这时，可认为在带宽Bn内是恒定的，若设，则可简便地由下式计算：式中，和分别为白噪声的双边和单边功率谱密度。,低通白噪声是白噪声经过理想矩形低通滤波器后的情形，见图（a），它的（双边）功率谱密度为带通白噪声是白噪声通过理想矩形带通滤波器的情形，见图（b）。它的（双边）功率谱密度为当时，带通白噪声也称为窄带白噪