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用物理建模探析一道高考数学应用题 湖南省慈利县第一中学 唐新标2007年湖南省高考题（理）19题是：如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元已知，（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小（III）在上是否存在两个不同的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论AEDBHP笔者在研究此题的解法中，觉得从物理学的角度借助一个光学模型，也可以得到一个简易解法。先看一道应用题：如图一，一辆自行车在平地MN上行驶的速度千米时，在山坡上行驶的速度千米时（其中）在离平地垂直距离PQc千米处的山坡上有一自行车，要使这一自行车行驶到离点Q为b千米的M处用时最少，自行车应按怎样的路线行驶？分析1 先建立函数关系，再求函数的最值如图1,令，于是自行车行驶的总时间,令，有，当时，在上是减函数，当时，在上是增函数。故当即时，自行车按路线行驶用时最少。分析2 题中“用时最少”以及图1容易联想到“光的传播问题”，因为光总是选择用时最小的路径传播，而且遵循折射定律，所以可以把自行车从P点到M点用时最少的路线看作一束光从P点传播到轨道MN，后经过MN折射传播到M点（图2），这种现象在物理学中被称为“光的全反射”（此时折射角为90）。这样对函数的最小值状态就可以建立如下光学模型，从而借助光的折射定律求其最小值。如图2：直线MN是两种媒质的分界面，已知光沿PO方向传播的速度千米时，沿OM方向传播的速度千米时，MQb千米，P到MN的垂直距离PQc千米，要使第一种媒质里的一束光PO传播到界面MN后在O点发生全反射（此时折射角为90），问O点应在何处？解：令，则，如图2入射角为，折射角，由光的折射定律：入射角的正弦和折射角的正弦后的比等于光在第一种媒质里的速度与光在第二种媒质里的速度之比，于是而 当时，取得最小值。解法总结：函数（为正常数，）最小值的求法：得，则的
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