《函数与导数》解题方法总结-教案

函数与导数解题方法总结 教案解题策略1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对含参数的二次函数问题，应分a0和a0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a1和0a1分两种情况讨论.4解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.5在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情况，当函数在a，b上连续且有有限个极值点时，函数在a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的；导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.6求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即0的解x0；用极值的方法确定极值；将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.7利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：0是递增的充分条件而非必要条件（0亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据0（或0）解出在定义域内相应的x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.8函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.典型例题考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法例1、函数的定义域为ABCD解：由.故选C例2、用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值，设=min, x+2,10-x (x 0),则的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，很容易的得到函数的最大值是当时，的最大值为6考点二. 函数的零点例1、函数的零点个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3解:当时，令解得；当时，令解得，所以选C。【方法总结】：求函数的零点：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点例2、设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解：原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：当或时，原方程有一解；当时，原方程有两解；当或时，原方程无解。【方法总结】：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例3、已知a是实数，函数，如果函数在区间-1，1上有零点，求实数a的取值范围。解：当a=0时，函数为=2x -3，其零点x=不在区间-1，1上。当a0时，函数在区间-1，1分为两种情况：函数在区间1，1上只有一个零点，此时或解得1a5或a= 函数在区间1，1上有两个零点，此时 或解得a5或a0恒成立；f(x)0)在区间上有四个不同的根,则解：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知 所以 答案:-8【方法总结】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题例2、已知函数若则实数的取值范围是 A B C D 解：由已知，函数在整个定义遇上单调递增的故 ，等价于，解得答案C【方法总结】：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，显得更加简单、方便考点四.函数的图象例1、右图是函数的图象，给出下列命题： 3是函数的极值点；1是函数的最小值点； 在处切线的斜率小于零；在区间（3，1）上单调递增。 则正确命题的序号是（ ）ABCD例2、函数( )yxo424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o4224例3、方程 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3函数的图象答案： 1、C 2、A 3、B 考点五. 利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围例1、已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x1，2，不等式f（x）C2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c，解得c2考点六 抽象函数 例1、定义在R上的单调函数满足=log3且对任意x，yR都有= +(1)求证为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围解：(1)：= + (x，yR)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，问题等价于t-(1+k)t+20对任意t0恒成立R恒成立【方法总结】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。考点七：利用导数研究导数的单调性例1、已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解（1） 当所以 因此,即曲线又所以曲线（2）因为,所以 ,令当时，所以 当时，0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.当时，由，即，解得. 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减; 当时， ，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，0,此时,函数单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数 在上单调递增； 函数在上单调递减.【方法总结】：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式0或0。若已知的单调性，则转化为不等式0或0在单调区间上恒成立问题求解。考点八：导数与不等式的综合例1、设在上是单调函数.求实数的取值范围；解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.若在上是单调递增函数，则，由于.从而0a3.例2、已知为实数，函数若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 ，所以的取值范围是考点九：导数与向量的结合例1、设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式； （2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。解：（1）（2）则在上有由；由。因为在t上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。 专题练习：1、已知函数 ()证明：曲线（）若求a的取值范围。【解析】()，故x=0处切线斜率，又即，当，故曲线（），令，故2、设函数（）求单调区间（）求所有实数，使对恒成立，注：为自然对数的底数【解析】：（）因为所以由于所以的增区间为，减区间为。（）由题意得即。由（）知在单调递增，要使对恒成立，只要解得4、设。（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）求的取值范围，使得对任意0成立。解（）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，故（0，1）是的单调减区间。当（1，+）时，0，故（1，+）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(II)设，则，当时，即，当时