等比数列的性质及应用-dab

等比数列的性质及应用,等差数列,等比数列,一、概念与公式,复习回顾,常数,1.在等比数列an中，a8=9，a10=18，则q=，2.在数列an中，a3=3，an=-3an+1，则a8=.,3.在等比数列an中，an=32n，则a1=，q=.,4.在等比数列an中，an=22n-1，则a1=，q=.,6,2,2,4,复习练习,4,5.等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数n=_,一、概念与公式,等比中项,如果在两个数a、b中间插入一个数G,使a、G、b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项.,等差中项,如果在两个数a、b中间插入一个数A,使a、A、b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项.,若三个数为x,2x+2,3x+3成等比数列,则x=.,课内练习一,-4,等比数列的图象,（1）数列：,通项,n,an,等比数列的图象,（2）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，,n,an,通项,若数列an的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：,an=2n-1,可见，表示这个等比数列的各点都在函数的图象上，如右图所示。,01234n,an87654321,等比数列的图象,已知无穷等比数列an,首项为a1，公比为q.（）依次取出数列an中的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？（）数列Can（其中常数C）是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？,问题,判断等比数列的方法,1.用定义:,3.用通项公式:,2.用等比中项:,(an0),(an0),可证关系式,判断等比数列的方法,（）在等比数列an中，是否有an2an-1an+1（n）？（）如果数列an中，对于任意的正整数n（n），都有an2an-1an+1，那么，an一定是等比数列吗？,课本例3.,其中正确命题的个数是_.,课内练习二,问题探究,课内练习二,已知an为等比数列，则在下列数列中仍是等比数列的是.2an；nan；|an|；an+an+1+an+2；anan+1；lgan；an+an+3+an+6,课内练习二,1.在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列.求这三个数.,二.插入的数是否唯一,2.在等比数列an中，（1）若a4=5,a8=6,a6=_（2）若a7a11=2，则a9=_,二.插入的数是否唯一,P493,三.等比数列的运算常用“比”,P491(4),2.,三.等比数列的运算常用“比”,重要性质,2.首尾项性质:有穷等比数列中,与首末两项距离相等的两项积相等,即:,特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即:,a1an=a2an-1=a3an-2=.,a1an=a2an-1=a3an-2=a中2.,特别地,若m+n=2p,则,1.若m+n=p+q(m、n、p、qN*),则,aman=ap2,aman=apaq,1.在等比数列an中，（1）若a4=5,a8=6,则a2a10=_，a6=_（2）若a1a9=64，且a3+a7=20，则a11=_（3）若a7a11=2，则a6a7a8a9a10a11a12=_,课内练习三,2.已知an是等比数列，an0且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A.5B.10C.15D.20,A,30,方法,3.若数列an是等比数列,m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.,重要性质,5.单调性,an是递增数列;,an是递减数列;,q=1an是,q0.,后三数成等比数列,其最后一个数是25,解得:a=16,d=4.,故所求四数分别为12,16,20,25.,a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.,a-d=12,a+d=20.,等差等比小综合,4.,等差等比小综合,5.三个数成等比数列,若将第三项减去32,则成等差数列,再将此等差数列的第二项减去4,又成等比数列,求原来的三个数.,解：设三数为a,b,c,得b=2+4a,c=7a+36.,等差等比小综合,思考题：,1.已知某市2007年底人口数为100万，人均住房面积为40平方米，如果该市每年人口平均增长率为2%，每年平均新建住房面积为20万平方米，试问到2011年底，该市人均住房面积为多少平方米？（精确到1平方米，参考数据：1.023=1.06，1.024=1.08，1.025=1.10）,五.数列的实际应用,【解】2007年底住房总面积为40100=4000万平方米.由题意可知，该市每年年底人口数构成等比数列an，其中a1=100，q=1.02；该市每年年底住房总面积构成等差数列bn，其中b1=4000，d=20.则到2011年底人口数为a5=1001.024，住房总面积为b5=4000+420.所以，2011年底人均住房面积为（平方米）.,2.某城镇现有住房1000万m2,预计以后的10年中,人口的年增长率为1%，要想10年后人均住房面积达到现有的1.5倍，试问这10年中,平均每年新建住房多少万m2？（参考数据：1.019=1.094，1.0110=1.105，1.0111=1.116),五.数列的实际应用,3.图(1)是一个边长为的正三角形，将每边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段，得图(2),如此继续下去,得图(3)试求第n个图形的边长和周长,课内练习,3已知a1，a2，a3,an是公比为q的等比数列，新数列an，an-1,a2,a1也是等比数列吗？如果是，公比是多少？,观察下列等比数列的递变规律,试进行分类，并说出分类的依据.,-2、-2、-2、-2,1、2、4、8、16、32,-1、-1/2、-1/4、-1/8、-1/16,-1、-3、-9、-27、-81,1、1/3、1/9、1/27，1/81,1、-2、4、-8、16,课内练习,课内练习四,3.在等比数列an中,a