解析几何部分公式、方法

解析几何部分公式、方法、技巧直线和圆的方程（1）与直线平行的直线方程为： 与直线平行的直线为： 与直线垂直的直线方程为： 与直线垂直的直线为： 给定直线与直线： 若讨论； 若 ；（2）过直线与的交点的直线方程为： （当时表示，但不表示）（3）点关于直线对称的点的坐标为，则： （填空题、选择题可用上面公式，解答题一定要写出下列过程： 即 解得： （4）到的角： 与的夹角：（5）斜率为的直线与二次曲线相交于两点，且，则有： （此即弦长公式） 【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。（6）点到直线的距离 两平行直线与的距离： （注意：应用该公式时一定要使得与的A，B一致）（7） 求曲线关于点对称的曲线： 在曲线上任取一点关于对称的点为代入曲线方程，即可得曲线方程为： 【注】上述方法也适用于曲线关于特殊直线的对称曲线的求法！（且极为好用！） 点关于特殊直线的对称点坐标的求法：（理解记忆） 给定点，若，则： （8） 过圆上一点的切线方程为： 过圆上一点的切线方程： 【求法】考虑切线方程：是否满足？设方程为，再利用点到切线的距离等于半径列出方程求出即可！ 【与类似结论】（9）二元二次方程表示圆 二元二次方程表示圆 其中圆心为，半径为（10）已知点在圆的外部，过P作圆的切线，切点分别为A,B，则切线长（11）若直线与圆有公共点，则 （即圆心到直线的距离小于或等于半径！）（12）给定点和圆，则： 点在圆内； 点在圆上 点在圆外 【注】圆锥曲线有着类似的性质，比如给定椭圆：点在椭圆内； 点在椭圆上；点在椭圆外；（13）判断直线与圆的位置关系，主要有两条路： 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系的比较加以判断；（首选） 联立直线与圆的方程然后判断的符号加以判断;(二次曲线与直线位置判断通法)（14）圆系方程： 过直线与圆的交点的圆系方程可设为： 过两圆与的交点的圆系方程为： 【推广】过两曲线与的曲线系方程为： （15）过两圆与的交点的直线（公共弦）的方程为：椭圆（1）椭圆的一般式方程：（2）椭圆的面积公式（3） 椭圆的第一定义： （其中称为焦点，为长半轴长，为半焦距，为椭圆上任一点） 椭圆第二定义：（即） 其中F为椭圆的焦点，为任意点P到该焦点的相应准线的距离，为离心率。 【推论】过焦点的直线与椭圆交于两点，则的周长为（3）椭圆标准方程中的基本量的计算公式：（离心率越大，椭圆越扁；） 准线计算为（4）椭圆焦半径公式：为左焦点（下焦点） 为右焦点（上焦点） （或） （或） 【推论】椭圆上一点到焦点的距离的最大值为，最小值为（5）焦点在轴上的椭圆上不同三点，则相应三条焦半径成等差数列三点横坐标成等差数列，即（6）以椭圆上任一点P的一条焦半径为直径作圆，此圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切。 以焦点弦为直径的圆必与相应准线相离。（7）过焦点焦点弦的两端点、在相应准线上的射影为，则 （只需证明即可！）（8）已知为椭圆上任一点，,则（其中为短半轴长） 【注】关于,很多资料书称之为焦点三角形，试题经常给定该三角形的一些条件，求椭圆的离心率、面积、周长等；此时须记：因为它是出现在椭圆里的特殊三角形，所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。（9）椭圆的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是双曲线部分（1）双曲线的一般式方程：（2） 双曲线与双曲线共渐近线为： 渐近线为的双曲线的方程可以写成（3） 双曲线的第一定义： （其中称为焦点，为实半轴长，为半焦距，为双曲线上任一点） 【注意】若将定义中的绝对值去掉，则为双曲线一支；若将定义中的常数改为0，则为线段的中垂线；若将定义中的改为，则为两条射线；若将定义中的改为，则轨迹不存在； 双曲线第二定义：（即） 其中F为双曲线的焦点，为任意点P到该焦点的相应准线的距离，为离心率。 【推论】过焦点的直线与双曲线的一支交于两点，若焦点弦，则的周长为（3）双曲线标准方程中的基本量的计算公式：（离心率越大开口越大；） 准线计算为（4）双曲线焦半径公式：为左焦点（下焦点） 为右焦点（上焦点） （或） （或） 遵循“左加右减、长正短负”八字规则。（5）以双曲线焦点弦为直径的圆必与相应准线相交。（6）已知为双曲线上任一点，,则（其中为虚半轴长）（7）是双曲线上任意一点，分别为左、右焦点，焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为（8）双曲线的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是，且通径长（9）当时，双曲线与双曲线共焦点；（10）直线与双曲线的位置关系：联立方程整理得 1） 当时，直线与双曲线的渐近线平行；此时，若，则有一个交点。 2） 当时，0，则相切； ，则相交； ，则相离； 【注意】此时：“交点只有一个”是“相切”的必要不充分条件。抛物线部分（1）抛物线的定义：到直线外一定点的距离等于到该直线的距离的点的轨迹； 【特别注意】定义中，定点F不在定直线上是一个重要的隐含条件，否则动点的轨迹不是抛物线。（2）抛物线的标准方程形式： 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线方程可设为，此时焦点为，准线为，焦准距为 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线方程可设为，此时焦点为，准线为，焦准距为 【谨记】写焦点、准线、焦准距时一定要记得把方程变为标准方程！同时要注意焦点所在的位置“对称轴为一次项代表的轴，开口方向由的符号决定！”（3）抛物线焦点弦的性质（如图所示）：设抛物线方程为，则焦点，准线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，作分别为A，B在准线上的射影，则： ，特别地，当时， ,即通径长为;抛物线的焦点弦长中，通径最短！ 与轴不垂直也不平行时，设弦所在直线的斜率为，则方程为，联立 消去，得：，或消去，得：，有： ，（不定） ，（不定） 若焦点弦被焦点分成长度分别为的两部分，则（定值） 以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切；以抛物线焦半径(或)为直径的圆与轴相切。 （即） 若为的中点，则 梯形中，两对角线与相交于抛物线的顶点（4）直线与抛物线的位置关系：联立方程整理得 1） 当时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时，有一个交点。 2） 当时，0，则相切； ，则相交； ，则相离； 【注意】此时：“交点只有一个”是“相切”的必要不充分条件。补充知识点、方法、技巧（1）对于方程上任意一点与过中心的弦的两端点连线与坐标轴不平行，则 （定值） 当时，方程为圆，此时； 当时，方程为椭圆，此时； 当时，方程为双曲线，此时；【推论】对于方程上任意与坐标轴不平行的弦及其中点，则 （定值）【点评】上述性质可以由点差法容易推得，常用于加快解答选择题、填空题的速度，并对解答题的解答思路起着指引作用、对解答题的答案起着验证功能作用。（2）设圆锥曲线方程为（为非负实数且不同时为0），则：点在曲线内部；点在曲线上；点在曲线外部；（3）直线与双曲线有两个交点位置的条件限制： 若直线与双曲线相交有两个交点，则联立，有： 若交于左支两点，则满足 若交于右支两点，则满足 若交于左、右支各一点，则满足【注】涉及到双曲线、椭圆的一部分与直线之间的关系的问题时，更多的是利用数形结合的思想，务必掌握该思想。（4）弦中点问题的处理：（【解答题用、圆锥曲线通用】，下以双曲线方程为例子加以说明） 设双曲线的弦，且，弦的中点，则有： 由可得： 将代入上式整理，得【点评】这是弦的斜率与中点的关系，要求学会推导，并能运用。（5） 过两已知点的双曲线、椭圆的标准方程的求法，设方程为 给出实轴（或长轴）与虚轴（或短轴）之间关系求双曲线、椭圆的标准方程的求法，必须要讨论好焦点的位置。（6）设直线方程的技巧： 过点的直线可设为或 过点的直线可设为 两截距相等的直线不要忘了考虑过原点的情况； 设直线方程为，则该直线不包括倾斜角为的情况； 设直线方程为，则该直线不包括倾斜角为的情况；（此种设法往往能很好地避免讨论斜率存在与不存在的情况；）（7）圆锥曲线的一类最值问题：利用圆锥曲线的定义求最值 点为圆锥曲线内一定点，为圆锥曲线上一动点，为焦点，为离心率： 求的最小值；（方法：定点于F相应准线的距离：） 求的最大最小值；（方法：利用第一定义得,其中为另一个焦点。） 【注】涉及焦半径的最值问题往往利用焦半径公式或第二定义。（8）给定直线与点，则： 若点在直线的同一侧，则 若点在直线的异侧，则（9）圆的参数方程为 （其中为参数）（10）给定椭圆方程： 中心为点 对称轴为 焦点在直线上 离心率仍为，长轴长为，短轴长为，焦距为 焦点为 长轴顶点 短轴顶点 准线为 参数方程为 （其中为参数） 【