金融数学课后习题答案 2.doc

第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)A(0)=t2 + 2t + 33In = A(n) A(n 1)= (n2 + 2n + 3) (n 1)2 + 2(n 1) + 3)= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t n) 时刻的利息: (1)Ir(0 r n); (2)Ir = 2r(0 r B(t) 2t1 + t2 21 + t t 121已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。解： d(4) = 8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。全部采用复利：(1 d)3 = 1 8%2第7 页PV = 5000(1 d)25 = 4225.25前两年用复利：1 3d0 = 1 8%2PV = 5000(1 d)24(1 d0) = 4225.4622为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%，计算第3年初投入的金额。(原来的答案有误)解： i(4) = 6% ，则i = (1 + 6%4 )4 1 = 6.14%设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程2000(1 + i)2 + 2000(1 + i) + X = 2000v2 + 5000v8解得X = 504.67 元23在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1第5年底支付200元，第10年底支付500元；2第5年底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。试计算P。解： 对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：200 + 500v5 = 400.94解得v5 = 0.40188所以P = 100(1 + i)10 + 120(1 + i)5 = 917.76224经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？解：1000(1 + 6%)t = 2 1000(1 + 4%)t解得： t = 36 年25已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计算n。第8 页解： 列价值方程为100vn + 100v2n = 100解得n = 6.2526基金A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力t = t6累积，初始时刻两基金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。解： t = 16 t，得基金B的积累函数为aB(t) = exp( t0sds) = exp(t212)欲使aA(t) = aB(t) 则(1 +112i(12)12t = exp(t212)解得t = 1.427.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。解： 1000(1 + i)15 = 3000则i(2) = (1 + i)12 1) 2 = 7.46%28已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在第2年底的终值为700元。计算实利率。解： 列价值方程为300(1 + i)2 + 200(1 + i) + 100 = 700解得i = 11.96%29已知货币的价值以利息力t = kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。(原来的答案有误)解： t = kt 则积累函数为a(t) = exp t0ksds = exp(k2t2)由a(10) = 2 得e50k = 2解得k = 0.0139第9 页30已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的一个货币单位的资本以实贴现率i 贴现的的现值之和为2.0096，计算i。解：(1 + i)3 + (1 i)3 = 2.0096解得i = 0.0431. 现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收入j + j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：A）现在付款15元，6个月后付款13.65元B现在一次性付款28元。如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题中的16元改成13.65元，这样结果更加符合实际)解： 设半年实利率为i0，则有：15(1 + i0) + 13.65 = 28(1 + i0)解得: i0= 0.05 故：i = (1 + i0)2 1 = 0.102533.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦（正常还款后）甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。如果甲乙合约的年利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。解： 价值方程：正常: 1000 = 100(1 + j)1 + 100(1 + j)2 + 1000(1 + j)3转让: 960 = 100(1 + k)1 + 1000(1 + k)2解得：j = 6.98%, k = 7.4%从而:j k34.如果常数利息力增加一倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。第10 页解： 和等价的年利率i = e 1,年利率变化：e2 ee 1= e和等价的年贴现率1 e = d, 年贴现率变化：e e21 e = e35证明：limd!0 d2 = limi!0i 2 =12证：limd!0 d2 = lim!0 1 + e2 = lim!01 e2= lim!0e2=12limi!0i 2 = lim!0e 12 = lim!0e 12= lim!0e2=1236.某厂家对零售商提供两种折扣：付现款可低于零售价格30；6个月后付款，可低于零售价格25。如果两种方式等价，计算对应的年利率。解: 设货款为S,半年实利率为i0,则有：0.7S(1 + i0) = 0.75S解得：1 + i0= 1.0714故i = (1 + i0)2 1 = 14.80%37令0 t 1 + (1 t)i (1 + i)t 1 + it故X1 X2 0，证明：1) f(m) = (1 + jm)m是m的递增函数;2) g(m) = m(1 + j)1m 1是m的递减函数。解： 1) f0(m) = 1m(1 + jm)mln(1 + jm), j 0,m 0, f0(m) 02) 令y = ln(1 + j)/m,则原式化为：ey 1yln(1 + j) (j 0)由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。42.面额100元的26周国债名收益率11.07。证明：售价在94.767到94.771之间时，均可保持这个收益率。(题意不理解，暂无修改意见)第12 页第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解： S = 1000s20p7% + Xs10p7% X =50000 1000s20p7% s10p7% = 651.722价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a48p1.5% 解得X = 1489.363设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1n。试计算该年金的现值。解：PV = nanpi = n1 vn1n=(n + 1)nn2 nn+2(n + 1)n4已知：anp = X，a2np = Y。试用X和Y表示d 。解： a2np = anp + anp (1 d)n 则d = 1 (Y XX)1n5已知：a7p = 5.58238, a11p = 7.88687, a18p = 10.82760。计算i。解：a18p = a7p + a11p v7解得i = 6.0%6.证明： 11v10 = s10p +a1ps10p 。第1 页证明：s10p + aps10p =(1+i)101i + 1i(1+i)101i=11 v107已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV = 100a8p3% + 100a20p3% = 2189.7168某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日1000s25p8% = Xa15p7% 解得X = 8101.659已知贴现率为10%，计算a8p 。解： d = 10%，则i = 11d 1 = 19a8p = (1 + i)1 v8i= 5.695310.求证：(1) anp = anp + 1 vn；(2) snp = snp 1 + (1 + i)n并给出两等式的实际解释。证明： (1)anp = 1vnd = 1vni1+i= 1vni + 1 vn所以anp = anp + 1 vn(2)snp = (1+i)n1d = (1+i)n1i1+i= (1+i)n1i + (1 + i)n 1所以anp = snp 1 + (1 + i)n第2 页12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV = 100a49p1.5% 100a2p1.5% = 3256.88AV = 100s49p1.5% 100s2p1.5% = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为Y ，在第1120年中没有。已知：v10 = 12，计算Y 。解： 因两种年金价值相等，则有a30pi + a10pi v10 = Y a30pi Y a10pi v10所以Y = 3v102v301+v102v30 = 1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。解： 由题意知，2a2npi + 3anpi = 362anpi vn = 6解得i = 8.33%15.已知a7pa11p =a3p + sXpaYp + sZp。求X，Y和Z。解： 由题意得1 v71 v11 =(1 + i)X v3(1 + i)Z vY解得X = 4, Y = 7,Z = 416.化简a15p (1 + v15 + v30)。解：a15p (1 + v15 + v30) = a45p第3 页17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解： 年金在4月1日的价值为P = 1+4.5%4.5% 2000 = 46444.44 ，则PV =P(1 + i)2+23= 41300.65718.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。解： 设递延时间为t，有P =1ivt解得t = ln iPln(1+i)19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有1000a20pi =Xiv29解得X = 1000(1 + i)30 (1 + i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1 + i)n 。解： 设遗产为，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为i3anpi ，而D得到遗产的现值为vn。由题意得1 vn3= vn所以(1 + i)n = 421.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。第4 页解： 由题意知PVCPVA=anp v2nanp = 0.49那么PVBPVD=anp vn1i v3n= 0.6122.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。解：100anp4.5% v4 1000解得n = 17列价值方程100a16p4.5% + Xv21 = 1000解得X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解： 两年金现值相等，则4 a36pi = 5 18，可知v18 = 0.25由题意，(1 + i)n = 2 解得n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。解： 由题意可得方程100a60p1% = 6000(1 + i)k解得k = 2925.已知a2pi = 1.75，求i。解： 由题意得1 v2 = 1.75i解得i = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：第5 页27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。解： 由题意可得价值方程10000 = 105Ka2p4% v3 + Ka2p4% + 10000v10则K = 1000010000v10105a2p4% v3+a2p4% v5 = 979.9428.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程P(1 + i)12 = X + 2Xa4pi + 2Xa5pj (1 + i)4所以X =P(1 + i)121 + 2a4pi + 2a5pj (1 + i)429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：PV = 4 400 + 4 600v5 = 11466.1431.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：PV =1s4pi a24pi v3 =(1 + i)24 1(1 + i)27(1 + i)4 1=a28p a4ps3p + s1p第_6 页33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解： 设年实利率为i，则(1 + 2%)2 = 1 + i。有题意得750i+750s20pi i= Ra30pi 解得R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解： 由题意知1is3pi =12591解得i = 20%35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。解： 由题意得20 =1d=Ra2pi i解得R = 1.9536.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。解： 设贴现率为d，则1 +i(2)2=1(1 d)12设递延时间为t，由题意得10000 = 2 500vt a(2)p 解得t =ln 20 + ln(1 (1 d)12 )ln(1 d)37. 计算：3a(2)np = 2a(2)2np = 45s(2)1p ，计算i 。解：3 ii(2) anpi = 2 ii2 anpi = 45 ii2 s1pi 解得：vn =12, i =130。第7 页38.已知i(4) = 16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。（问题）解：39.已知：t = 11+t。求anp 的表达式。解：anp = n0eR t0 sdsdt = ln(1 + n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解： 第一种年金的现值为 10vtdt =1 e第二种年金的现值为et，则1 e= et所以t = 1 + 1 ln i41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解： 设季度实利率为i。因a(t) = et，则e14 = (1 + i) 所以PV = 100a80pi = 100(1 + i)1 v80i= 4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解： 设年实利率为i，则i = e 1设基金可维持t年，由两现值相等得40000 = 2400atpi 解得t = 28第8 页43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解： 由题意： 11(1+i)6 = 13(1+i)7 i = 211PV = v + 3v2 + + (2n 1)vn + = v1 + PV + 2(v + v2 + )= v(1 + PV + 2 v1v )解得:PV = 6644.给出现值表达式Aanp + B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解： 年金序列：A + nB,A + (n 1)B, . . . ,A + 2B,A + B所求为25a25p + 3(Da)25|45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16。若记：A = a10p8% ，试用A表示这个年金的现值。解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：300a10p8% + 500(Da)10|8% = 300A +2 (10 A)i(2) = 6250 325A46. 年利率8的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5。计算第十年底的余额。解： 由题意：AV =1000s5p8% (1 + 8%)6 + (1000 1.05 1.085+1000 1.052 1.084 + + 1000 1.055 1.08)=1000(1 + 8%)5 18%1.086 + 1000 1.05 1.085 1 ( 1.051.08 )51 1.051.08=16606.7247. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:100v4i vd第9 页解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而PV =v4 100i1a2pi 1i= 100v4 1i11 v2 = 100v4i vd48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：1600a10p (I(4)a)(4)1| 元证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1,R = 100m2 = 1600从而每年初当年的年金现值：1600(I(4)a)(4)1| 元再贴现到开始时：1600a10p (I(4)a)(4)1| 元49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，计算现值。解： 半年的实利率：j = (1 + 8%)12 1 = 3.923%PV = 1 +1.031 + j+1.032(1 + j)2 + = (1 1.031 + j)1= 112.5950. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：6000a4p a(12)9/12|证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 6000 从而每年初当年的年金现值：6000a(12)9/12|贴现到当前：6000a4p a(12)9/12|第10 页51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0, 1, 2, ):每个年金的值为Rap在分散在每个k年的区段里：Ra|ak|再按标准永久年金求现值：R(a|)2ak|52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, 的现值。计算贴现率。解： 由题意： X = 1i11+i20X = ( 1i + 1i2 ) 1(1+i)2解得：i = 0.05即：d = i1+i = 0.0476253. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4 = 0.75，计算现值。与原答案有出入解： (期初年金)PV = 1 + 6v4 + 11v9 + =i=1(5n 4)v(4n4) =5(1 v4)2 41 v4 = 64(期末年金)PV = v + 6v5 + 11v10 + = v PV = 59.558754. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i，如果：0 k i ，计算该年金现值。与原答案有出入解： 由于0 k qi不存在, p q(2)令f(i) = pi qi qi2f0(i) = pi2 +qi2 + 2qi3 = 0解得：i = 2qpq p q58. 某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率?下面的计算年利率i = 5%)(与原答案有出入)解： 用9年一周期的产品，则有支付的现值为：PV1 = 2 1 + (1.041.05)9 + (1.041.05)18 + (1.041.05)27用15年一周期的产品，则有支付的现值为：PV2 = (2 + X) 1 + (1.041.05)15 + (1.041.05)30由PV1 = PV2有：X = 0.699259. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利率11%，smp7% = 34, snp11% = 128。解： 由snp 的表达式有：(1 + 0.1