隐函数的求导公式.ppt课件

.,第五节隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,.,一、隐函数存在定理简介,隐函数：,由方程所确定的函数.,隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点的某一邻域内具有连续偏导数，且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件，并有,1.一个方程的情形,.,例验证方程,在点,能确定一个有连续导数、当,时,的隐函数,解,设,则,由定理1得：,方程,在点,的某邻域内能确定一个有连续导数、当,时,的隐函数,的某邻域内,.,隐函数存在定理2设函数的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程F(x,y,z)=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足条件并有,(2),.,2、方程组的情形,隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(Jacobi)式：,.,的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件,并有,方程组,.,(3),.,下面，总假设隐函数存在且可导，,在此前提下来讨论,求隐函数的导数或偏导数的方法。,1、一个方程的情形,(1),设该方程确定了函数:,即,等式两端同时对x求导,得,+,=,0,二、隐函数的求导法,.,(2),设该方程确定了函数:,即,等式两端同时对x求偏导,得,+,=,0,+,等式两端同时对y求偏导,得,+,=,0,+,.,(3),设该方程确定了函数:,即,等式两端同时对x求偏导,得,+,=,0,+,类似可得,+,.,解,=,=,.,例2,解,（1）,设,=,=,=,=,.,（2）,=,=,=,.,=,注意,.,2.方程组的情形,设该方程组确定了,方程组两端同时对x求导，得,+,+,+,+,即,+,+,.,=,=,.,设该方程组确定了:,方程组两端同时对x求偏导，得,+,+,+,+,即,+,+,+,+,.,=,=,.,同理,方程组两边同时对y求偏导,可得,+,+,+,+,即,+,+,+,+,.,=,=,.,例3,解,+,+,+,=,0,+,+,+,=,0,即,+,=,+,=,.,解得,=,=,=,=,.,例4,解,+,(,=,0,+,=,0,即,+,=,+,=,+,),.,解得,=,=,=,=,.,方法：,由,可确定,(*)式两边同时对x求偏导，可求得,(*)式两边同时对y求偏导，可求得,(*),又,=,=,，,例5,.,在点(x,y,u,v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数u=u(x,y)，v=v(x,y)；,例6设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数，又,(2)求反函数u=u(x,y)，v=v(x,y)对x,y的偏导数.,.,由隐函数存在定理3，得,(1)证,在点(x,y,u,v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y)，v=v(x,y).,它们是x=x(u,v),y=y(u,v)的反函数。,.,设方程组(#):,(2)解,等式