高三数学高考复习强化双基系列课件36《等差数列与等比数列的综合问题》课件人教

2010届高考数学复习强化双基系列课件,36等差数列与等比数列的综合问题,课前热身,1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，()，38的特点，在括号内适当的一个数是_.2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,bR且ab)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为()A.3/8B.11/24C.13/24D.31/723.等比数列an的各项都是正数，且a2,a3/2,a1成等差数列，则(a5+a6)/(a4+a5)的值是()A.B.C.D.或,31,D,A,4.等比数列an中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_5.在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为()A.20B.22C.24D.28,C,9,课前热身,考点一:等差数列的概念、通项公式和前n项和公式.,1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.,2.通项公式等差an=a1+(n-1)d,3.前项和公式Sn=a1+a2+a3+an=,【典型例题1】设数列an的前项和为Sn=n2+2n+4(nN)(1)写出a1，a2，a3；(2)证明:数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4,是等差数列.,评:由于a2-a1=5-7=-2,an+1-an=-2故不对任意成立，数列an不是等差数列.,【同类变式】设数列un是公差不为0的等差数列,u11=u51,u20=22,设数列un的前项和为Sn，un的前项和为Tn.(1)求u31的值;(2)求Tn的表达式.,考点二：等差数列的性质：,1.等差中项如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，则A叫a、b的等差中项A(a+b)/2,am+anap+aq(等差数列),3.等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k-1)n成等差数列.,4.若kn成等差数列,则akn成等差数列.,【同类变式】一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d.,d=5,由S偶-S奇=6d,考点三：求Sn的最大（小）值,(1)在等差数列an中，a10,d0，则Sn有最小值.,(2)求Sn的最值的几种方法:由转化为二次函数求最值;利用则Sn为最大.,【典型例题3】在等差数列an中(1)若a10,S4=S9,求Sn取最大值时,n的值;(2)a1=15,S4=S12,求Sn的最大值.,【同类变式】若数列an是等差数列,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN+),bn的前项和为,若an中满足3a5=8a120,试问n多大时,Sn取得最大值?证明你的结论.,解析：3a5=8a120,3a5=8(a5+7d),解得a5=0,d0,a17a2a3a160a17a18,而b15=a15a16a170.S14S13S1,S14S15,S150,a18=S14,故Sn中S16最大.,评：解此题的关键是确定数列的单调性，利用不等式组，探讨中的正负关系。,若数列an是等差数列,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN+),bn的前项和为Sn,若an中满足3a5=8a120,试问n多大时,Sn取得最大值?证明你的结论,b1b2b3b140b17b18,考点四:等比数列的概念、通项公式和前n项和公式.,1.等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列.,2.通项公式an=a1qn-1,3.前项和公式Sn=a1+a2+a3+an=,【典型例题4】数列an与bn的通项公式分别为an=2n,bn=3n+2,它们的公共项由小到大排成的数列是cn.(1)写出cn前5项；(2)证明cn是等比数列.,【同类变式】（1）已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数列cn+1-tcn为等比数列，求常数t;(2)设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列。,评：依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，是数列中的基本问题之一。,提示（1）(2-t)(3-t)2n3n=0p=2或p=3.,（2）为证cn不是等比数列只需证c22c1c3,考点五：等比数列的性质：,1.等比中项如果在a、b中间插入一个数G，使a、G、b成等差数列，则G叫a、b的等差中项G2ab,amanapaq(等比数列),4.等差比列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k-1)n成等比数列.,5.若kn成等差数列,则成等比数列.,3.a1an=a2an-1=akan-k+1=若an0,a1a2an=,6.重要性质：,am+anap+aq(等差数列),amanapaq(等比数列),(m、n、p、qN*),特别地m+n=2pam+an2ap(等差数列)amana2p(等比数列),知识要点,【典型例题5】在等比数列an中,Sn表示前n项和.(1)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和公比q;(2)Sn=2,S2n=12,求S3n.,【同类变式】在1/n和n+1之间插入n个正数,使这n+2个数依次成等比数列,求所插入的n个数之积.,解：设这n个数为x1，x2，x3，xn，且公比为q，则有,=,=,=,【典型例题6】设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4),解法一：,设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有,化简得,设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1,=lga1nq1+2+(n1),=nlga1+n(n1)lgq,=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3,=()n2+(2lg2+lg3)n.,可见，当n=,Sn最大.,=5.5,故lgan的前5项和最大.,设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4),解法二：接前，,于是lgan=lg108()n1,=lg108+(n1)lg,数列lgan是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，,令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n,=5.5.,由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大.,1.等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若，则Sn等于()C.2D.2,B,2.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0a3a12a13,因此，在S1，S2，S12中Sk为最大值的条件为：,5.(1)解：依题意有：,ak0且ak+10,a3=12,d0,2k3,d3,4,得5.5k7.,解之得公差d的取值范围为d3.,因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.,解法二：由d0得a1a2a12a13，因此，若在1k12中有自然数k,使得ak0,且ak+10,则Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差数列性质得，,当m、n、p、qN*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.,所以有：2a7=a1+a13=S130,a70,a7+a6=a1+a12=S120,a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.,解法三：依题意得：,最小时，Sn最大；,d3,6(5)6.5.,从而，在正整数中，,当n=6时，n(5)2最小，所以S6最大.,点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak0且ak+10，思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.,6.已知数列an为等差数列，公差d0,由an中的部分项组成的数列a,a,a,为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列bn的通项公式；(2)记Tn=Cb1+Cb2+Cb3+Cbn,求,解：(1)由题意知a52=a1a17，,即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,d0,a1=2d,数列的公比q=3,=a13n1,又=a1+(bn1)d=,由得a13n1=a1.,a1=2d0,bn=23n11.,(2)Tn=Cb1+Cb2+Cbn,=C(2301)+C(2311)+C(23n11),=(C+C32+C3n)(C+C+C),=(1+3)n1(2n1),=4n2n+,7(2006北大附中中学内部试卷)设ak为等差数列，公差为d，ak0，k1，2，2n1(1)证明aa2n1a2n1；(2)记bk，试