理赔额服从指数分布聚合风险模型研究.doc

RESEARCH ON COLLECTIVE RISK MODEL WHENCLAIMS OBEY EXPONENTIAL DISTRIBUTIONA Dissertation submitted in fulfillment of the requirements of the degree ofMASTER OF SCIENCEfromShandong University of Science and TechnologybyZhou ShaoweiSupervisor: Professor Zhao MingqingCollege of Information Science and EngineeringMay 2006声明本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公认的文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交于其它任何学术机关作鉴定。硕士生签名：日期：AFFIRMATIONI declare that this dissertation, submitted in fulfillment of the requirementsfor the award of Master of Science in Shandong University of Science andTechnology, is wholly my own work unless referenced of acknowledge. Thedocument has not been submitted for qualification at any other academicinstitute.Signature:Date:山东科技大学硕士学位论文摘要摘要本文研究了理赔额服从指数分布的聚合风险模型：（1）关于短期聚合风险模型首先，介绍了研究短期聚合风险模型的四种方法，提出了概率母函数法，并给出了复合二项分布和复合负二项分布的两个性质再生性和可分解性；其次，就理赔额服从指数分布的情况给出了总理赔分布的若干结论。（2）关于长期聚合风险模型首先，对经典的泊松风险模型给出了当理赔额服从混合指数分布时破产概率的表达式，并介绍了通过矩拟合得到破产概率近似解的方法；其次，建立了多险种的泊松风险模型，给出了破产概率满足的微分方程以及初始资本为 0时破产概率的表达式，并就理赔额服从指数分布的情况给出了初始资本为 u 时破产概率的表达式。关键词：风险模型，理赔额，指数分布，破产概率山东科技大学硕士学位论文ABSTRACT摘要Thepaperstudiescollectiveriskmodelwhenclaimsobeyexponential distribution：(1)About short-term collective risk modelFirstly, introducesfour methods of discussing short-term collective risk model and bringsforward the method of probability generating function , gives twoqualities of compound binomial distribution and compound negativebinomial distributionreactivity and decomposability; Secondly,givesthe conclusions of the total claims when claims obey exponentialdistribution.(2) About long collective risk model Firstly,gives the ruinprobabilitywhenclaimsobeymixedexponentialdistributiononclassicalpoissonriskmodelandanapproximationoftheruinprobability;Secondly, construct a multitype insurance poisson riskmodel,gives differential function of ruin probability and the ruinprobability when claims obey exponential distribution.Keywords: risk model,claims,exponential distribution,ruin probability山东科技大学硕士学位论文目录目录1 绪论 11.1 研究现状 11.2 本文研究的主要内容 22 短期聚合风险模型 42.1 模型定义 42.2 研究 S 的分布的方法 42.3 S 的性质 103 理赔额服从指数分布的短期聚合风险模型 143.1 主要结果143.2 结果的应用203.3 结果的推广233.4 两种确定理赔分布的方法253.5 平均总理赔的区间估计284 理赔额服从混合指数分布的长期聚合风险模型 304.1 预备知识304.2 模型定义314.3 主要结果324.4 破产概率的近似计算345 理赔额服从指数分布的多险种的长期聚合风险模型 375.1 模型定义375.2 主要结果376 结束语 42参考文献 43致谢45山东科技大学硕士学位论文目录Contents1 Introduction11.1 Review of the Studies11.2 Main Work of the Paper22 Shortterm Collective Risk Model 42.1 Definition of the Model 42.2 Research Methods of the Distribution of s 42.3 Quality of s 103 Shortterm Collective Risk Model When Claims Obey Exponential Distribution143.1 Main Results 143.2 Application of Results203.3 Improvement of Results233.4 Two Methods of Acquiring Claim Distribution253.5 Interval Estimation of Average Total Claims284 Long Collective Risk Model When Claims Obey Mixed Exponential Distribution 304.1 Preparatory Knowledge304.2 Definition of the Model314.3 Main Results324.4 Approximation of the Ruin Probability345 Multitypeinsurance Long Collective Risk Model When Claims Obey ExponentialDistribution 375.1 Definition of the Model375.2 Main Results376 Conclusions 42Reference Documents 43Thanks 45山东科技大学硕士学位论文1 绪论绪论1.1 研究现状我国保险业恢复二十多年来，发展十分迅速，随着保险作为一个特殊的金融行业的诞生和日益发展，以保险业为基础而产生的精算科学也不断发展。精算技术最早起源于寿险的保费计算，它的发展与寿险有着深厚的渊源关系。但它的应用远远不局限于寿险业务本身，随着科学技术的发展以及非寿险市场竞争的日益激烈，精算技术逐渐渗透到了非寿险经营的各个领域，尤其是二战以后，风险理论的建立使非寿险精算的理论和应用都有了突飞猛进的发展。在风险理论中，关于聚合风险模型的研究是其核心内容。在聚合风险模型中，风险组合被看作是一个随着时间变化而逐渐产生新理赔的保险风险过程，这些理赔被假设为独立同分布的随机变量序列，并且独立于时间段内的理赔次数。聚合风险模型又分为短期聚合风险模型和长期聚合风险模型，分别关心的是固定短期内一个随机变量的分布和随时间变化的随机变量族以及它们分布之间的关系。短期聚合风险模型是 S = X1 + X 2 +L + X N ，其中 N 是给定时期中某一险种保单的理赔次数， X i 是第 i 个理赔额，则 S 表示这一时期的总理赔。通常作如下假设：（1） X 1, X 2 ,L, X N 是同分布的随机变量，即 X i 为同质风险；（2）随机变量 N , X1, X 2 ,L, X N 相互独立。文献17，21讨论了研究短期聚合风险模型的方法，进一步地，文献6，8，17，20对 S 服从复合泊松分布的情形讨论了 S 的性质。在 X i 服从某些特殊分布时，可以得到 S 的分布和数字特征，对于这一点，文献22，23，24，25给出了当 X i 服从指数分布时 S 的分布的有关结论。关于长期聚合风险模型，是在一个较长期内建立保险人盈余变化模型，又称为破产模型，研究的问题是保险人运营的稳健性。设逐年收取的保费固定不变，保险人在时间t = 0 的初始资本为 u ，他的资本金会随时间线性增加，但每当一个理赔发生时盈余过程就会有一个下跳。如果在某个时刻该盈余过程为负值，我们便说破产事件发生了。虽然盈余为负并不意味着保险公司将要倒闭，但是对破产概率的研究无疑是重要的，它对保1山东科技大学硕士学位论文绪论险公司设计相应的财务预警系统以及保险监管部门设计某些监管指标系统等问题有直接地参考与指导作用。破产论的研究起源于瑞典精算师 Filip Lundberg 于 1903 年发表的博士论文，并且在这篇论文中，Lundberg 首次提出了一类重要的随机过程 Poisson 过程。不过，Lundberg的工作不符合现代数学的严格标准。他的严格化是以 Harald Cramer 为首的瑞典学派完成的，是 Cramer 将 Lundberg 的工作建立在坚实的数学基础之上。与此同时，Cramer也发展了严格的随机过程理论 16 。LundbergCramer 的经典风险模型中假设保险公司在时刻 t 的盈余由下式给出：N (t )U (t) = u + ct - X ii=1, t 0其中：u 是初始资本； c 是单位时间的（常数）保费收入； X i (i = 1, 2,L) 表示第 i 次理赔额；N (t ), t 0表示到时刻 t 为止的理赔次数过程；N (t), t 0与 X i , i = 1, 2,L相互独立。经典风险模型的建立为后人的研究提供了很好的理论基础。在经典的破产理论中，破产概率只有在特殊条件下才有显示解，当个体理赔额服从指数分布时其结果非常简洁，而当个体理赔额服从其它分布时则要复杂的多。文献 6给出了当个体理赔额服从混合指数分布时计算破产概率的一种普遍适用的算法部分分式法，但没有显示解。正是由于破产概率的复杂性，因而研究其近似算法具有重要意义。文献9给出的 De Vylder Approximation 通过矩拟合的方法将一般的复合泊松盈余过程U (t), t 0近似为一个个体理赔服从指数分布的复合泊松盈余过程U (t), t 0，从而得到破产概率的近似解。目前关于这方面的研究还比较少。关于破产模型，另一方面的进一步研究是将单险种的盈余过程扩展到多险种。文献27建立了多险种风险模型，并对两险种的情况给出了初始资本为 0 时破产概率的明确表达式，以及初始资本为 u 且理赔额均服从同一指数分布时破产概率y (u) 的明确表达式。文献29对两险种的泊松风险模型给出了理赔额服从不同指数分布和混合指数分布时破产概率y (u) 的明确表达式。1.2 本文研究的主要内容2山东科技大学硕士学位论文绪论本文研究了理赔额服从指数分布的聚合风险模型，主要包括两个部分：(1)关于短期聚合风险模型目前对于短期聚合风险模型的研究多是围绕复合泊松分布进行的。本文第 2 章首先介绍了研究短期聚合风险模型的四种方法，提出了概率母函数法，并在此基础上给出了复合二项分布和复合负二项分布的两个性质再生性和可分解性，推广了复合泊松分布的有关性质。在第 3 章中就某种特殊情况即个别理赔额服从指数分布时，给出了总理赔分布的密度函数和数字特征，并进一步研究了平均总理赔的区间估计。(2)关于长期聚合风险模型本文在第 4 章中对经典的泊松风险模型进行了进一步地研究，给出了个别理赔额服从混合指数分布时破产概率的明确表达式，并介绍了通过矩拟合得到破产概率近似解的方法。在第 5 章中对经典的泊松风险模型进行了推广，建立了多险种的泊松风险模型，给出了破产概率满足的微分方程，并在个别理赔额服从指数分布的条件下，给出了破产概率的明确表达式。3山东科技大学硕士学位论文短期聚合风险模型2 短期聚合风险模型短期聚合风险模型研究的是在固定短期内的总理赔量的分布。本章介绍了研究短期聚合风险模型的方法，并在此基础上给出了复合二项分布和复合负二项分布的两个性质再生性和可分解性。2.1 模型定义定义 2.1.1 17 记 N 是给定时期中某一险种保单的理赔次数，X i 是第 i 个理赔额，则S = X1 + X 2 +L + X N 表示这一时期的总理赔，称为短期聚合风险模型。其中，理赔次数N 是一个随机变量，取值为自然数；个别理赔额 X i (i = 1, 2,L N ) 也是随机变量，取值为正数。注：（1）这里的聚合风险模型是指将所有的保单视为一个整体，以每一次理赔为基本对象，考虑在给定时期内发生的总理赔，按理赔发生的时间顺序将所有的理赔额累加起来。（2）约定当 N = 0时， S = 0 ，表示没有理赔发生。为讨论方便，我们通常有两个假设：（1） X 1, X 2 ,L, X N 是同分布的随机变量，即 X i 为同质风险；（2）随机变量 N , X1, X 2 ,L, X N 相互独立。S 的分布取决于 N 和 X i 的分布选择。 N 通常服从泊松分布、负二项分布和二项分布，分别适用于理赔次数的均值等于方差、小于方差和大于方差的情形。对应 S 的分布分别称为复合泊松分布、复合负二项分布和复合二项分布。2.2 研究 S 的分布的方法在文献13，14，17，21中介绍了研究短期聚合风险模型的方法：卷积法、矩母函数法、特征函数法和 Panjer 递推法。另外，概率母函数也可以用来研究短期聚合风险模型。在给定时期内，通过理赔次数 N 的分布和个别理赔额 X i 的分布可以得到总理赔量S 的分布。4山东科技大学硕士学位论文短期聚合风险模型设 P( x) 为独立同分布 X i 的共同分布函数， X 为服从此分布的随机变量，记pk = E( X k ) 为 X 的 k 阶原点矩， M X (t) = E(etX ) 为 X 的矩母函数， F X (t) = E(eitX ) 为 X的 特 征 函 数 。 相 应 地 ， M N (t) = E(etN ) ， M S (t) = E(etS ) ， F N (t ) = E (eitN ) ，F S (t) = E(eitS ) 分别为 N 和 S 的矩母函数与特征函数。设 F ( x) 和 f ( x) 分别为 S 的分布函数和概率密度函数。则+Xn=0+Xn=0P( N = n) = pn=0Var(S ) = EVar(S | N ) + Var E(S | N )= E NVar( X ) + Var ( Np1 ) = E ( N )Var ( X ) + p1 Var ( N )其中，Var( X ) = p2 - p1 。221 卷积法根据全概率公式给出 S 的分布的一般形式：F ( x) = P(S x) = P(S x | N = n)P( N = n)n=0+ Xn=0 n=0f ( x) = p*n ( x)P( N = n)n=0注：由此可见，当 n 较小时此法简便易行，但当 n 较大时，n 重卷积是很难计算的。222 矩母函数法M S (t) = E(etS ) = E E(etS | N ) = Eet ( X1 + X 2 +L+ X N ) | N