lush2015第七章第二节课件

,作业,P3041(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6,第三节,7.2可分离变量的微分方程,一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy0在这种方程中变量x与y是对称的,如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、一阶微分方程,首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：,例一阶微分方程：,也可以写成,一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：,问题：如何求解一阶微分方程？难！,问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊类型的一阶微分方程：,二、可分离变量的微分方程及其求解,如果一阶微分方程能化成,（4）,的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的,微分方程,什么方程是可分离变量的微分方程呢？,第二步：两边积分,解法：,第一步：分离变量,或,或,针对,如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y)的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,下页,讨论:,是,不是,不是,是,是,是,y1dy2xdx,dy(3x25x)dx,y(1x)(1y2),10ydy10 xdx,可分离变量的微分方程的解法,两端积分,方程G(y)F(x)CyF(x)或xY(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解,求显式解,求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数,yF(x)或xY(y),下页,如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y)的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,分离变量,将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式,下页,注,离变量得,解,这是一个可分离变量的微分方程.,两边积分得,即ln|y|x2C1,加常数的另一方法,根据题意得微分方程,解,例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律,初始条件为M|t0M0,将方程分离变量得,两边积分得,由初始条件得M0Ce0C所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et,即lnMtlnC,也即MCet,下页,提示,降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)牛顿第二运动定律Fma,设降落伞下落速度为v(t),解,下页,例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系,根据题意得初值问题,将方程分离变量得,两边积分得,将初始条件v|t00代入上式得,于是降落伞下落速度与时间的函数关系为,结束,例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系,设降落伞下落速度为v(t),解,根据题意得初值问题,本节学习内容是：,1.可分离变量方程的“标准型”；,四、小结,2.分离变量法步骤：,五、重点,掌握分离变量法。,六、难点,化为可分离变量方程。,七、主要题型,八、学习方法指导,九、常见问题辅导：,常常通用，而不严格区分其,的细微之处？,答：我们用一个例子来说明：,解一原方程是一个可分离变量的方程；,解二原方程是一个可分离变量的方程；,分离变量且两边积分：,常将C写成,或,这样，,于是，将解直接写成,答：当积分一个微分方程出现自然对数（如：,十、课堂练习,1.解方程,2.解微分方程初值问题,，,十一、课堂练习题解,1.解这是可分离变量方程；,分离变量,两边积分,通解为,2.解这是对称形式的可分离变量方程；,分离变量并积分之，得,通解,故特解为,十二、自测题,一、求下列微分方程的通解：,二、求下列微分方程的特解,十三、自测题题解,一、1解这是可分离变量方程，,分离变量并两边积分，得：,通解为,一、2解这是可分离变量方程，,通解为,分离变量并两边积分得：,二、1解这是可分离变量方程，,分离变