第五章利用观察数据建立数学模型.doc

第五章利用第五章利用观观察数据建立数学模型（数据察数据建立数学模型（数据拟拟合）合） 题题来源：来源：实际问题实际问题中中经经常常 遇到以下情况：遇到以下情况： 1、只知函数、只知函数在一些点在一些点处处)(xf 的函数的函数值值或或导导数数值值，没有明确的，没有明确的 解析式；解析式； 2、知其解析式但很复、知其解析式但很复杂杂。 。 这样这样我我们们就要就要寻寻求某个求某个较为简单较为简单的函数的函数来逼来逼)(x 近近，即用，即用作作为为的近似表达式的近似表达式. )(xf)(x)(xf 寻寻求求简单简单函数函数过过程通常有两大程通常有两大类类方法：方法：1、插、插值值法；法；)(x 2、数据、数据拟拟合。本合。本节节我我们仅们仅介介绍拟绍拟合的方法。合的方法。 第一第一节节 问题问题的提出以及的提出以及线线性性拟拟合合 一、数据一、数据拟拟合与最小二乘法合与最小二乘法 数据数据拟拟合合： ：为为了了获获得便于得便于应应用的用的经验经验公式公式（不必（不必( )x 要求要求），往往采用），往往采用拟拟合合的方法。的方法。( ) ii xy 所所谓谓拟拟合是合是根根据据一一组组数数据据， ，即即平平面面上上的的若若干干点点， ， 要要求求确确定定函函数数 y = f(x)， ，使使这这些些点点与与曲曲线线总总体体来来 说说尽尽量量接接近近。 。这这就就是是数数据据拟拟合合成成曲曲线线的的思思想想， ，简简 称称为为曲曲线线拟拟合合(fitting a curve)。 。 数据数据拟拟合中最常用的方法就是合中最常用的方法就是最小二乘法最小二乘法，下面，下面 通通过过一个一个简单简单的例的例题进题进行行说说明例明例 1.1 下面下面给给出了出了悬悬 挂不同重量的物体挂不同重量的物体时弹时弹簧的簧的长长度：度： （ （g） ）x51015202530 (cm)y7.258.128.959.9010.9011.80 讨论变讨论变量量 与与 之之间间的关系的关系yx 为为了研究了研究弹弹簧的伸簧的伸长长量量 和和悬悬挂的物体挂的物体质质量量 之之yx 间间的关系，首先将表中各的关系，首先将表中各组组数据数据 在坐在坐标标),( ii yx)6 , 2 , 1(i 平面平面 内描出内描出对应对应的点，的点， 得到的得到的图图通常被通常被称称为为散点散点xOy 图图通通过观过观察可以察可以发现发现， ， 这这些点大致分布在一条直些点大致分布在一条直线线 上，上， 因此就考因此就考虑虑利用直利用直线线 (2.1.1)bxay 去描述去描述 与与 之之间间的关系，但是怎的关系，但是怎样样确定确定yx 系数系数 、 、 ，才能使近似函数，才能使近似函数尽量反尽量反ab)(xy 映所映所给给数据点的数据点的变变化化趋势趋势呢？一般采用呢？一般采用 的方法是的方法是确定确定 、 、 使所有的使所有的计计算算值值和和实实ab 测值测值之差之差 ， ， (2.1.2) iii yx)( （ （ 又称又称为为偏差或残差偏差或残差）的平方之和最小，即使）的平方之和最小，即使 i 2 11 2 )( i n i i n i i bxayS 最小，最小，这这个方法称个方法称为为最小二乘法最小二乘法.这时这时(2.1.1)称称为为最小最小 二乘二乘拟拟合一次多合一次多项项式式， ， 称称为为偏差平方和偏差平方和.S 由微分学中求极由微分学中求极值值的方法可知，只需求的方法可知，只需求 关于关于 、 、Sa 图图 2-12-1 的一的一阶阶偏偏导导数，并令其数，并令其为为零，可以得到零，可以得到 、 、 满满足的方足的方bab 程程组组 ， ， 1 1 2()0 2()0 n ii i n iii i S yabx a S yabxx b (2.1.3) 求解可得求解可得 ， ， 284 . 6 a183 . 0 b 可以可以证证明明 ， ， 可以使可以使 取得最小取得最小值值， ，这样这样直直线线方程方程 a b S 就可以确定就可以确定 xy183 . 0 284 . 6 注：注：问题问题： ：给给定一批离散的数据点，需确定定一批离散的数据点，需确定满满足特定要足特定要 求的曲求的曲线线，从而，从而获获取整体的取整体的规规律。即通律。即通过过窥窥几斑几斑来来 达到达到知全豹知全豹。 。 解决方案：解决方案： 若不要求曲若不要求曲线线通通过过所有数据点，而是要求它反映所有数据点，而是要求它反映对对 象象整体整体的的变变化化趋势趋势， ，这这就是就是数据数据拟拟合合，又称曲，又称曲线拟线拟 合。合。 从几何意从几何意义义上看，上看，拟拟合是合是给给定了空定了空间间中的一些点，中的一些点， 找到一个已知形式的找到一个已知形式的连续连续曲曲线线来最大限度地来最大限度地逼近逼近 这这些点。些点。 二、二、 最小二乘原理的最小二乘原理的一般理一般理论论 设给设给定的数据定的数据为为， ， ，设拟设拟合曲合曲线线方程方程),( ii yx), 2 , 1(mi 为为，令，令),()( 10ni aaaxPx 2 0101 1 (,) ( ,) m nini i S a aaP x a aay ， ， (2.2.1) 1nm 最小二乘法就是求参量最小二乘法就是求参量 ， ，使，使 i a), 2 , 1(ni 最小，即求最小，即求使使 01 (,) n S a aa * ii aa * 0101 (,)(,) nn S a aaS a aa 这时这时称称为为函数函数在点集在点集),()( 10ni aaaxPx)(xyy 上的最小二乘逼近上的最小二乘逼近miyxX ii , 2 , 1),( 解决方法：解决方法：由多元函数求极由多元函数求极值值的方法可得的方法可得 ， ， . (2.2.2) 0 j S a ), 1 , 0(nj （ （这这个方程称个方程称为为法方程或正法方程或正规规方程方程 ） ） 即求得即求得 ， ，满满足足 * 01 , n a aa * 0101 (,)(,) nn S a aaS a aa 如何求得如何求得呢？呢？我我们们采用下面的采用下面的拟拟合合 * 01 , n a aa 函数，得到一般的求解公式：函数，得到一般的求解公式： 若若拟拟合函数合函数为为)()()()( 1100 xaxaxax nn 其中其中， ， ， ，线线性无关，由公式性无关，由公式(2.2.1)可得可得)( 0 x)( 1 x)(x n 2 01 10 (,)( ) mn nkkii ik F a aaaxy (2.2.3) 由公式由公式(2.2.2)可得可得 10 2()()0, mn kkiiji ik j F axyx a . (2.2.4), 2 , 1(nj 如果引入如果引入记记号号 ， ， 1 (,)( )( ) m kjkiji i xx (2.2.5) 1 (,)( ) m kkii i fx y 则则方程方程组组可以表示可以表示为为 (2.2.6) 1 (,)(,),(1,2, ) n kjkk k afjn 即即 (2.2.7) ),( ),( ),( ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 1 0 1 0 00000 000001 01000 f f f a a a nnn n 这这是一个系数矩是一个系数矩阵为对阵为对称矩称矩阵阵的的线线性方程性方程组组.可以可以证证 明明:当函数当函数， ， ， ，线线性无关性无关时时， ，方程存在方程存在)( 0 x)( 1 x)(x n 唯一解唯一解 ， ， ， ， * ii aa ), 1 , 0(ni 并且相并且相应拟应拟合函数合函数为为)()()()( * 1 * 10 * 0 xaxaxax nn 这这就是就是满满足条件的最小二乘解足条件的最小二乘解. 综综上分析，求最小二乘法的步上分析，求最小二乘法的步骤骤可以可以归纳为归纳为：先通：先通 过过所所给给数据画出散点数据画出散点图图，并根据散点，并根据散点图图确定确定经验经验公式公式 的函数的函数类类型（有型（有时时可以有多种可以有多种选择选择）；再建立法方程，）；再建立法方程， 并通并通过过解法方程求得最小二乘解的解法方程求得最小二乘解的对应对应参数参数 * i a .), 1 , 0(ni 第第二二节节 代代数数多多项项式式拟拟合合 已已知知一一组组数数据据， ，用用什什么么样样的的曲曲线线拟拟合合最最好好呢呢？ 可可以以根根据据散散点点图图进进行行直直观观判判断断， ，在在此此基基础础上上， ，选选 择择几几种种曲曲线线分分别别作作拟拟合合， ，然然后后比比较较哪哪条条曲曲线线的的最最 小小二二乘乘指指标标 最最小小。 。S 一一、 、代代数数多多项项式式拟拟合合 作作为为数据数据拟拟合的一种常合的一种常见见情况，若情况，若讨论讨论的是代数的是代数 多多项项式，即式，即 n nx axaax 10 )( 这时这时只需取只需取即可，由公式即可，由公式(2.2.7) k k xx )(), 1 , 0(nk ),( ),( ),( ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 1 0 1 0 00000 000001 01000 f f f a a a nnn n 可知相可知相应应的法方程的法方程为为 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2/x f=aebx f=ae-bx f=a1+a2x f=a1+a2x+a3x2 (2.2.8) i n i ii i n n i n i n i n iii n ii yx yx y a a a xxx xxx xxm 1 0 21 12 其中符号其中符号“”是是“”的的简简写写. m i 1 例例 2.2 已知某种半成品在生已知某种半成品在生产过产过程中的程中的废废品率品率 (%)y 与它的某种化学成分与它的某种化学成分 (0.01%)有关，下表中有关，下表中记录记录了了x 与与 的相的相应应的的实测值实测值， ，试试用最小二乘法建立用最小二乘法建立 与与 之之间间yxyx 的的经验经验公式公式. /0.01% x3436373839393940 /%y1.301.000.730.900.810.700.600.50 /0.01%x4041424343454748 /%y0.440.560.300.420.350.400.410.60 解解 根据前面的根据前面的讨论讨论，解，解题题的的过过程如下程如下: (1) 确定确定拟拟合曲合曲线线的形式的形式.根据散点根据散点图图 3-2 可以考可以考 虑虑采用二次多采用二次多项项式式进进行行拟拟合，合，设拟设拟合曲合曲线为线为 . 2 210 xaxaay (2) 建立法方程建立法方程组组. 利用公式利用公式(3.2.7)计计算可得算可得 46099353110500526709 110500526709651 2670965116 432 32 2 iii iii ii xxx xxx xxm 44.15803 04.396 02.10 2 ii ii i yx yx y 所以法方程所以法方程为为 2 1 0 46099353110500526709 110500526709651 2670965116 a a a 44.15803 04.396 02.10 求解可得求解可得 ， ， 256.180a8093 . 0 1a0092 . 0 3a 所以所求所以所求经验经验公式公式为为 . 2 0092 . 0 8093 . 0 256.18xxy 第三第三节节 可可线线性化的非性化的非线线性一元函数的数据性一元函数的数据拟拟合合 在在实际问题实际问题中，通常会遇到两个中，通常会遇到两个变变量之量之间间存在的存在的 相关关系相关关系为为非非线线性关系，性关系，这时这时法方程往往是非法方程往往是非线线性多性多 元方程元方程组组，不宜求解，不宜求解，这时这时就要采取其它的方法求解就要采取其它的方法求解 参数参数对对于于这类问题这类问题来来说说，通常分，通常分为为两种情况两种情况进进行行处处 理，一种是理，一种是利用利用变变量代量代换换，将其，将其转转化化为线为线性性问题处问题处理，理， 这时这时前面的前面的结结果就可以直接果就可以直接应应用；另一种是不能用；另一种是不能线线性性 化的化的问题问题， ，处处理起来比理起来比较较麻麻烦烦.这这里我里我们们将通将通过过一个例一个例 子介子介绍绍可以可以线线性化的非性化的非线线性一元函数的数据性一元函数的数据拟拟合合问题问题. 图图 3-2 例例 3.2 在某个化学反在某个化学反应应中中测测得生成物的得生成物的浓浓度度 与与时间时间 的数据如下：的数据如下：yt / 0.01%t12345678 /%y4.006.408.008.809.229.509.709.86 /0.01%t91011121314 1516 /%y10.0010.2010.3210.4210.5010.55 10.5810.60 试讨论试讨论生成物的生成物的浓浓度度 与与时间时间 的关系的关系yt 解解 依据提供的依据提供的测试测试数据作出散点数据作出散点图图 （ （图图 23）根）根 据散点分布形状，据散点分布形状， 选选配合适的曲配合适的曲线线 假假设设回回归归曲曲线线是指数型的，是指数型的， 即即变变量量 和和 满满足关足关yx 系系 ， ， （ （， ，） t b aey 0a0b 令令， ， ， ， ， ， 则则有有 yyln t t 1 aalnbb t b ay 列表列表计计算未知系数算未知系数 、 、 的估的估计值计值 a b i123141516 ii tt/1 1.00000.50000.33330.07140.06670.0625 ii yyln 1.38631.85632.07942.35612.70812.3609 类类似于例似于例 3.1 的求解的求解过过程可得程可得 ， ， 4807 . 4 a 0567 . 1 b 于是，于是， 关于关于 的的线线性回性回归归方程方程为为 y t ty0567 . 1 4807 . 4 由由， ， ， ， ， ， 可以可以得到得到yyln t t 1 aalnbb ，