数值分析 -lec26--常微分方程组解法

朱立永,北京航空航天大学数学与系统科学学院,数值分析,Email:numerical_analysisPassword:beihang答疑时间：星期三下午2:005:00答疑地点：主216,第二十六讲常微分方程组的解法,第七章常微分方程初值问题的数值解法,常微分方程及其求解概述初值问题解法1.Euler方法2.线性多步法3.RungeKutta方法4.方程组及刚性问题的Gear方法,Runge-Kutta方法,六个未知数，二个自由，故可取,故：,N=4:四级四阶R-K方法,-最常用的古典Runge-Kutta方法。,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。,表8各种解法在例题中的结果比较,（2）单步法，自动起步（3）易改为变步长（4）绝对稳定区域较同阶线性多步法大（5）计算工作量较大，有时大于隐式方法,绝对稳定性讨论,表9各级R-K方法的绝对稳定区域,R-K法的绝对稳定区域,变步长Runge-Kutta方法框图,出发值的计算,常微分方程组初值问题的求解方法,常微分方程组的求解方法1.考虑2阶常微分方程组的初值问题：,解此方程组的Euler方法,常微分方程组解法,把F看成f，Y看成y，YF(t,Y)看成yf(t,y)，课本中介绍的所用的解yf(t,y)的格式都可以直接推广应用于解常微分方程组YF(t,Y)；对于隐式格式，一般需要通过非线性方程组迭代法来解得最终得数值解；常微分方程组数值格式的相容性条件：即为格式具有至少一阶精度的条件常微分方程组数值解的总体误差的定义形式是和对单个方程的格式是一样的，只是把对单个方程用的绝对值换成了对向量的范数；,常微分方程组解法,5.常微分方程组数值格式的局部截断误差的定义：把常微分方程精确解带入数值格式所余下的部分称为所用格式的局部截断误差；6.常微分方程组数值格式的精度：如果格式的局部精度误差|Rn+1|=O(hp+1)，那么称格式是p阶精度的；7.常微分方程组数值格式的收敛性：其定义形式和单个方程一样；8.关于常微分方程组数值格式的精度和收敛性定理：和当方程的基本一样，只需把Lipschitz条件换成范数下的Lipschitz条件。,常微分方程组格式的稳定性,模型方程：,稳定性定义：和单个方程的定义一样。,格式的稳定性条件：为使每个方程,都稳定的条件,对常系数方程组的稳定性分析：,设A可对角化：,令,当A不可对角化时，只需对A的每个特征值作分析即可。,一般情况下：,A的元素一般是t和Y的函数，因此A的特征值一般也是t和Y的函数，我们需要计算每个特征值的极值，然后讨论其在取极值下的稳定性条件。对所用特征值进行相似的讨论以得到最终的稳定性条件。也可以取AA(t0,Y0)，此时A为常数矩阵。所得到的稳定性条件有时不能保证格式是绝对稳定的。,可能是复数,Adams内插法的绝对稳定区域：,Adams外推法的绝对稳定区域,R-K法的绝对稳定区域,高阶常微分方程数值解法,可以把一个高阶常微分方程初值问题变成一个一阶常微分方程组。然后用解一阶常微分方程组的数值方法求解。可以把一个高阶常微分方程组初值问题变成一个一阶常微分方程组。然后用解一阶常微分方程组的数值方法求解。可以直接对高阶导数作差商近似来