概率统计简明教程多媒体参考资料第一篇概率论

工程数学概率统计简明教程（第二版）多媒体参考资料,同济大学数学系,2011.12,1,第一篇概率论部分第二篇统计部分,2,信息时代与统计（代序）,2009年8月6日的美国纽约日报有篇文章，题为：对如今的毕业生而言，就一个词：统计学.谷歌的首席经济学家哈尔瓦里安说：“我一直都说，在未来10年，最具吸引力的工作将是统计师.”统计师地位的提高是近来电子数据爆炸式增长的结果，到2012年，全球电子数据约增长5倍.,3,正如麻省理工学院的埃生克布林约尔松所说,我们正在迅速进入一个每件事都能被监控和分析的世界，但问题在于人类利用、分析和解释数据的能力！这正反映了信息时代对统计和统计人才的强大需求，鲜活客观的数据是解决长期经济需求问题，以及确定重要政策的优先程序的第一步.因而人们只有借助统计学这一重要工具，使用计算机和缜密的数学模型，在大量数据中发掘重要信息，寻求其规律和决定对策.,4,第一篇概率论部分,5,（一）事件的概率（二）条件概率与事件的独立性（三）随机变量及其分布（四）随机变量的数字特征,6,（一）事件的概率,1.随机事件2.概率的概念及性质3.古典概型,7,1.随机事件,在随机试验中，对某些现象的陈述为随机事件（也简称事件）.对于指定的一次试验，一个特定的事件可能发生，也可能不发生，这就是事件的随机性.,8,例1（第一章例1），投掷一枚均匀骰子，观察朝上面的点数，我们关注“出现点数不大于4”这个事件（记之为A）.当试验结果出现3点时，事件A发生；当试验结果出现5点时，事件A不发生.总之，在试验前，无法判断事件A是否发生.,9,事件的关系,（1）（B包含A）;（2）A=B（A与B相等）;（3）A与B互斥（A，B不能在一次试验中同时发生）.,10,事件的运算,11,例2（第一章例7）有两门火炮同时向一架飞机射击，考察事件A=击落飞机，依常识，“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中两个发动机”，因此A是一个较复杂的事件.如记Bi=击落第i个发动机,i1,2，C=击中驾驶员，相对A而言，B1、B2及C都较A为简单.我们可以用B1、B2及C表示AA=B1B2C这可以简化复杂事件A的概率计算.,12,事件分解的要点是：正确使用事件的运算建立各简单事件之间的关系.,13,2.概率的概念及性质,概率是事件发生的可能性大小的度量.概率的统计定义：概率是频率的稳定值,常常用于概率的近似计算，是非常有用的.但要注意，试验次数要足够多.,14,概率的三条公理,15,事件的加法公式及推广:对于任意事件A、B,有,16,17,概型的要求有限性：可能结果只有有限个；等可能性：各个可能结果出现是等可能的.概率的计算公式,3.古典概型,18,例4（第二章例1）设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件.现按以下两种方式随机抽取2件产品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，观察后放回，再从中任取1件；（b）不放回抽取，即先任意抽取1件，观察后不放回，从剩下的产品中再任取1件.试分别按这两种抽样方式求:（1）两件都是次品的概率；（2）第1件是次品，第2件是正品的概率.,19,解容易验证满足古典概型的要求记A=两件都是次品，B=第1件次品，第2件正品.只讨论有放回情况（不放回情况是类似的）,计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取，每次取一件.而每次抽取均有100种可能结果，依原理，一共有n10010010,000种可能结果，此即样本点总数.,20,而构成事件A的样本点的条件必须每次抽取来自30件次品，因此每次有30种可能结果，因而有k3030900种可能结果，于是同理，可得,21,22,23,（二）条件概率与事件的独立性,1.条件概率2.全概率公式和贝叶斯公式3.事件的独立性,24,1.条件概率,25,例6（第三章例3）一批零件共100件，其中次品有10件，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率.解记A第一次为次品，B第二次为正品，要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A)已知P(A)=0.1，而P(BlA)90/99，因此P(AB)P(A)P(BlA)0.190/990.091.,26,27,28,2.全概率公式和贝叶斯公式,29,30,在贝叶斯公式中，称P(A1)，P(An)为先验概率，而P(A1lB)，P(AnlB)为后验概率，它表示在有了试验结果B已发生的附加信息下，对先验概率的修正.,31,例8（第三章例6）血液化验一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1的概率误将健康人检出阳性.设已知该种疾病的发病率为0.5，求已知一个个体被此项血液化验检出阳性条件下，该个体确实患有此种疾病的概率.,32,解此例的“结果”是血液化验检出是阳性，产生此结果的两个可能“原因”是：一、带菌；二、健康人.问题是求从已知“结果”为阳性条件下，而事实上是“带菌”的条件概率：P(带菌l阳性)记B阳性，A1带菌，A2不带菌.已知由贝叶斯公式得到,33,带菌不带菌总和阳性0.951.992.94非阳性0.05197.01197.06总和1199200其中数字0.95，1.99是由假设条件及公式0.9510.951.991990.01算出.因此已检出阳性条件下（总共2.94人），带菌（只有0.95人）的条件概率为,为什么验出是“阳性”，而事实上为“带菌”的概率如此小？以下是平均总数为200人的分类表：,34,35,3.事件的独立性,36,37,38,39,40,41,42,（三）随机变量及其分布,1.随机变量的分布函数2.离散型随机变量的分布3.连续型随机变量的分布4.二维随机变量的联合分布与边缘分布5.随机变量的函数及其分布,43,1.随机变量的分布函数,44,45,46,2.离散型随机变量的分布,47,48,例12（第四章例5）袋中有5个球，分别编号1,2,3,4,5.从中同时取出3个球，以X表示取出的球的最小号码，求X的分布律与分布函数.解由于X表示取出的3个球中的最小号码，因此X的所有可能取值为1,2,3，X1表示3个球中的最小号码为1，那么另外两个球可在2,3,4,5中任取2个，这样的可能取法有种;而在5个球中取3个球的可能取法共有种.,49,50,51,52,53,54,55,56,3.连续型随机变量的分布,57,58,常用连续型分布,59,60,标准正态分布N(0,1)的密度函数图像,61,62,63,64,4.二维随机变量的联合分布和边缘分布,65,66,67,68,69,70,71,5.随机变量的函数及其分布,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,（四）随机变量的数字特征,1.数学期望2.方差和标准差3.协方差和相关系数4.大数定律和中心极限定理,82,1.数学期望,83,期望的性质,84,85,86,例24（第七章例5）分赌本问题（pointproblem）甲乙二人各有赌本a元，约定谁先胜三局赢得全部赌本2a元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相等现已赌三局结果是：甲二胜一负由于某种原因赌博中止，问如何分2a元赌本才合理？提示如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的；能否依据现在的胜负结果2：1来分呢？但仔细推算也是不合理的，当时著名数学家和物理学家帕斯卡提出一个合理的分法是：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的,87,88,例25（第七章例11）把n个球放进M只盒子，假定每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望.,89,90,2.方差和标准差,设有两批钢筋（每批10根）它们的抗拉强度为：第一批110，120，120，125，125，125，130，130，135，140,第二批90，100，120，125，125，130，135，145，145，145.可计算出两批数据的平均数都是126，但直观上第二批数据比第一批数据与平均值126有较大的偏离.因此，欲描述一组数据的分布单单有中心位置的指标示不够的，尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标，对于随机变量也有相同的问题，除了使用期望描述分布的中心位置以外，尚需一个描述相对于期望的分散程度的指标.,91,92,93,94,95,例27某公司初次加工的产品合格率为0.96，而不合格品中只有0.75可进行再加工，再加工的合格率为0.8,其余均为废品.已知每件合格产品可获利80元，而出现一件废品则亏损20元.为保证公司每天平均利润不低于2万元，问该公司每天至少应生产多少件产品？,解记该公司生产的产品的合格率为p，依假设有P=0.96+0.040.750.8=0.984.设公司每天生产n件产品，而X为其中的合格品数，Y为n件产品的利润则XB(n，p)，且Y=80X-20(n-X).注意到：EY=80EX-2