数学分析第3章

数学分析电子教案,重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云62460842shensy,第一节关于实数的基本定理第二节闭区间上连续函数性质的证明,第三章实数的完备性,第一节关于实数的基本定理,子列二.上确界与下确界三.区间套定理四.致密性定理五.柯西收敛原理,一、子列,注意：,例如，,1.子数列的定义,2.收敛数列与子数列的关系,证,证毕,定理1收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,例1,对于数列xn,证,此时有,此时有,总之：,恒有,定理2(数列收敛充要条件),收敛,定理3(数列收敛充要条件),收敛,子列,和,收敛于同一极限.,的任何子列收敛,于同一极限.,若数列有一个子列发散,从而发散.,其偶数项组成的子列收敛于1,等，则数列一定发散。,定理2的逆否命题是判断数列发散的有力工具:,它的奇数项组成的子列,发散.,注,或有两个子列收敛而极限不相,举例,数列,而,奇数项组成的子列,收敛于-1,再如数列,即为,由于这个子列发散，,故数列,二、上确界和下确界,1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界,例2证明：集合,是无界数集.,证：,由无界集定义，E为无界集.,2、上确界和下确界的定义,确界的其它定义,定理4设数集有上（下）确界，则这上（下）确界唯一。,3确界原理定理5(确界原理).设E为非空数集，（1）若E有上界，则E必有上确界；（2）若E有下界，则E必有下确界。,例3设数集S有上确界.证明,例4,证:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数都是数集A的上界,A中任一数都是B的下界,是数集A的最小上界,故有,而此式又表明数是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1为例做解释.,4.确界与最值的关系:设E为数集.E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若存在,必有对下确界有类似的结论.,定理6单调有界数列必有极限。,定理6(单调有界定理)单调有界数列必有极限,证明,定理6(单调有界定理)单调有界数列必有极限,定理6的几何解释,以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生,例2设,证明数列收敛.,例3,例4,(n重根号),证明数列,单调有界,并求极限.,求,(计算,的逐次逼近法,亦即迭代法).,解由均值不等式,有,有下界;,注意到对,有,有,例5,1）证明序列,的极限存在；,2）求极限,解1）因,时有,所以,即有,故序列,下降。因此序列极限存在，记极限,值为c。于是,这表明序列,有下界。又,或,2）因,所以,又,即得,例6,证,(舍去),三、区间套定理,1、区间套的定义,定义1设闭区间列具有如下性质：,(i),(ii),则称为闭区间套，或简称区间套。,定理7.(区间套定理),或者,证由定义1的条件1可知,数列an递增,有上界,b1.所以由单调有界定理,可知an的极限存在.,从而由定义1的条件2可得,因为an递增,bn递减,所以,设,这样就证明了的存在性.,现在证明是唯一的。,推论,若是区间套所确定的点,(,),证由区间套定理的证明可得:,由极限的保号性,对于任意正数,存在N,推论设an,bn是一个区间套,现在证明是唯一的。,但是定理1中的是不存在的,这是因为,证明过程,哪一步通不过?,的,注1该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.,注2区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结,论不一定成立.例如对于开区间列,显然,即,注1,区间套定理中要求各个区间都是闭区间.,但不存在属于所有开区间的公共点。,注2,区间套定理在有理数域不一定成立。,五、致密性定理,1聚点定理,设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）。,若的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点。,整数集Z和自然数集N没有聚点。,任何有限数集没有聚点.,聚点概念的另两个等价定义:,则称为S的一个聚点。,若存在各项互异的收敛数列,三个定义等价性的证明:,显然。,显然。,设为S（按定义）的聚点，,无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列,定理8（魏尔斯特拉斯（weierstrass)聚点定理）,实轴上的任意有界无限点集至少有一个聚点。,证,因为S是有界点集，,现将等分为两个子区间。,因为S是无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，,证毕。,再将等分为两个子区间，,则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点,将此等分子区间的手续无限的进行下去，得到一个区间列,且其中每一个闭区间都含S中无穷多个点。,由区间套定理，存在唯一的点,由推论得：,从而内含有S中无穷多个点，,按定义2，为S的一个聚点。,定理9（致密性定理）有界数列必含有收敛子列。,证,设xn为有界数列,若xn中有无限多个相等的项，,则由这些项组成的子列是一个常数列，,而常数列总是收敛的。,若xn中不含无限多个相等的项，,故由聚点定理，点集xn至少有一个聚点，,则xn在数轴上对应的点集必为有界无限点集，,于是按定义，存在xn的一个收敛子列（以为其极限）.,证毕。,补充：,注：,聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。,S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,数列xn是有理数域内的有界数列，但其极限是无理数e.,从而任一子列均收敛于e。,故xn在有理数域内没有收敛的子列。,因而在有理数域没有聚点。,五、Cauchy收敛准则,1Cauchy列：,如果数列,具有以下特性：,则称数列,是一个基本数列.（Cauchy列）,2Cauchy收敛准则：,定理10数列,收敛的充要条件是：,是一个基本数列.,数列,收敛,或,定理的几何解释,柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.,作为致密性定理的应用，我们用它数列的柯西收敛准则。,证充分性,先证明an是有界的。,即an是有界的。,由致密性定理，有界数列an必有收敛子列,证毕。,五、柯西收敛原理,定义3,设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如(a,b)的开区间）。,若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，,则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.,若H中开区间的个数是无限的（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。,六有限覆盖定理,如：函数f在(a,b)内连续，,这样就得到一个开区间集:,它是区间(a,b)的一个无限开覆盖。,是区间(0,1)的一个无限开覆盖。,定理11（海涅博雷尔（Heine-Borel)有限覆盖定理）,闭区间a,b的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖a,b。,证,用反证法,设不能从H中选出有限个开区间覆盖a,b。,将a,b等分为两个子区间，,则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖,记这个子区间为,再将a1,b1等分为两个子区间,其中至少有一个区间不能用H中有限个开区间来覆盖。,记这个子区间为a2,b2,重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。,由区间套定理，存在唯一的一点,由于H是闭区间a,b的一个开覆盖，,由定理7.1推论，当n充分大时有,这表明an,bn只须用H中的一个开区间就能覆盖,这与挑选an,bn时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾。,证毕。,有限覆盖定理对开区间不一定成立。,注,构成了开区间（0，1）的一个开覆盖，,但不能从中选出有限个开区间盖住（0，1）。,因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，,*注：实数完备性基本定理的等价性,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即：,1.确界原理（定理）；,2.单调有界定理（）；,3.区间套定理；,4.有限覆盖定理,5.聚点定理（,6.柯西收敛准则；,在实数系中这六个命题是相互等价的。,在有理数系中这六个命题不一定成立。,作为区间套定理的应用，证明的“数列的柯西收敛准则”。,证必要性,柯西收敛准则另一证法,充分性,即在区间内含有中除有限项外所有的项，,写作“几乎所有的项”,仿以上方法得到闭区间列,由区间套定理，存在唯一的一个数,由推论得：,因此在内含有中除有限项外的所有项，,七、小结,(1)有界数集的确界定理,(2)单调有界数列的极限存在定理,(3)区间套定理,(4)Weierstrass聚点定理;,(5)柯西收敛原理,(6)Heine-Borel有限覆盖定理;,3.2闭区间上连续函数性质的证明,一、有界性定理,若函数在闭区间上连续,则在上有界.,证明:,(应用有限覆盖定理证明),二最大最小值定理,若函数在闭区间上连续,则在上有最大值和最小值.,证明:,(应用确界原