控制理论第4章

第4章控制系统的稳定性及其分析,系统的稳定性是指在使它偏离稳定状态的扰动作用终止后，返回原来稳定状态的性能，即系统抗干扰的程度,控制系统的稳定性的判断是针对闭环系统而言，线性系统的稳定性与输入信号无关,劳斯阵列,0,劳斯阵列第一列变换三次符号，即说明有三个极点在S平面右半部。第一列中的符号变换次数即为正实部根数,在对数幅频特性曲线频率范围内，相频特性曲线在线上的正负穿越次数之差为零。(由线下方向上穿越为正穿越，由线上方向下穿越为负穿越)。,正负穿越次数之差为+1，所以系统稳定,正负穿越次数之差为-1，所以系统不稳定,4对数幅相频率特性稳定判据,相位裕量（也称相角裕量或相位储备），可用表示。它是指开环频率特性的幅值时，它的相角与-1800之间的差值，即。或者说相位裕量是向量与负实轴的夹角。是开环频率特性的幅值等于1时的频率，即增益交界频率（剪切频率）。若角越小，则相位裕量越大。,相位交界频率,增益交界频率,对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量,图4.6对数幅相频率特性曲线,当增益裕量以分贝表示时，如果，则增益裕量定为正值，当,增量裕量定为负值，正增益裕量说明系统稳定。对于稳定的最小相位系统（即是系统的开环传递函数在s平面的右半部没有零点、极点的系统）而言，正增益裕量指出了系统在变成不稳定的系统时，增益可增加多少。对于不稳定的系统而言，负增益裕量指出了若使系统稳定，增益应减少多少。,传递函数,对数幅频特性,对数相频特性,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,传递函数,对数幅频特性,对数相频特性,频率特性,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,5,1,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,c,图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,增益交界频率,传递函数,对数幅频特性,对数相频特性,频率特性,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,5,1,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,转角频率,传递函数,频率特性,对数幅频特性,对数相频特性,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,5,1,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,转角频率,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,5,1,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,c,W1(s),图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,增益交界频率,相位裕量,增益裕量,相位交界频率,转角频率,根据上述四个环节绘制波德图,由图4.8可知：当K=10时，增益交界频率；相位裕量；相位交界频率；增益裕量等于10dB。由此可知幅值裕量和相位裕量均为正。如果作图准确的话,可以得到较为准确的裕量。,转角频率,0,相位裕量等于180加上对数相频特性曲线在处的相位，或等于180加上所有各环节对数相频特性曲线在处的相位。,-180,求W1（s）在相位交界频率下的增益裕量：1.将代入中求；2.将代入每个环节后叠加,传递函数,对数幅频特性,对数相频特性,100,20,20,20,20=26.02dB,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,5,1,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,增益交界频率,增益裕量,相位交界频率,相位裕量,转角频率,K=100,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,5,1,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,c,W1(s),图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,增益交界频率,相位裕量,增益裕量,相位交界频率,相位裕量,转角频率,K=100,4.4液压仿形刀架控制系统的综合分析与计算,液压仿形刀架结构原理图,伺服阀,液压缸,仿形机构,仿形样板,刀架,触头位移Xi,阀芯位移Xe,节流口,（放大元件）,（执行元件）,油缸位移X0,带有负反馈的控制阀。在零开口附近工作,恒压油源压力,1系统物理模型的建立,2系统数学模型的建立,（1）确定系统的输入量及输出量,（2）列写系统各环节的运动方程,伺服阀运动方程的建立,非线性方程的线性化处理,液压缸流量方程的建立,液压缸力平衡方程的建立,3系统传递函数的建立,液压仿形刀架系统的综合分析,5系统稳定性判断,4绘制系统的波德图,6求系统的相位裕量和增益裕量,7系统稳态误差的计算,液压仿形刀架结构原理图,刀架,1液压仿形刀架系统物理模型的建立,m：所有x方向运动的部件（刀架、液压缸体、伺服阀）质量：运动部件与非运动部件（液压缸活塞及活塞杆和其它导向机构）间的粘滞阻尼系数AP：活塞有效工作面积PL：油缸两腔压差（称为负载压差）PL=P1-P2,伺服阀,液压缸,仿形机构,仿形样板,刀架,触头位移Xi,阀芯位移Xe,节流口,（放大元件）,（执行元件）,油缸位移X0,带有负反馈的控制阀。在零开口附近工作,恒压油源压力,1液压仿形刀架系统物理模型的建立,只考虑伺服阀和液压缸部分。,（1）确定系统的输入量及输出量,伺服阀输入量：阀芯位移xe，输出量：负载流量QL，QL表示管路中流量的平均值为如不考虑泄漏，则,液压缸输入量：伺服阀的输出量，即负载流量QL。输出量：刀架的位移xo。,前一个环节的输出量应该是后一个环节的输入量,2液压仿形刀架系统数学模型的建立,（2）列写系统各环节的运动方程,伺服阀运动方程的建立,伺服阀特性曲线伺服阀在不同的开口量，即阀芯位移为，的情况下，负载流量QL与负载压差PL的函数关系。其xei、QL、PL的函数关系为,非线性方程,非线性方程的线性化处理,额定工作点(),（4.17）,引入泰勒公式进行线性化处理,若函数在点处的某一邻域内具有1至n阶导数，则泰勒公式为,式中拉格朗日型的余项，为高阶无穷小。,在预期工作点邻域，将非线性函数y=f(x)展开成以偏差x=x-x0表示的泰勒级数，然后略去高于1次的偏差量x的各项,额定工作点,非线性方程的线性化处理,额定工作点(),额定工作点,根据系统对精度的要求，可选择其中几项，本系统拟选择前两项。可展成为,令,流量放大系数,流量压力系数,（4.18）,随工作点位置而变化,式（4.19）表明了负载流量、阀芯位移和负载压差之间的线性关系。随着阀的工作点不同，阀的流量放大系数和流量压力系数也在变化。,（4.19）,伺服阀是在额定工作点处展开成线性,（4.20）,（4.18）,（4.17）,流量放大系数,流量压力系数,阀是工作在额定工作点附近,伺服阀运动方程,液压缸流量方程的建立,根据液压系统的质量守恒原则,左腔连续方程为(4.2),右腔连续方程为(4.3),Cep液压缸外部泄漏系数（m5/Ns）Cip液压缸内部泄漏系数（m5/Ns）；P1液压缸左腔压力（MPa）；P2液压缸右腔压力（MPa）V1液压缸进油腔容积（m3）；V2液压缸回油腔容积（m3）；Q1液压缸进油流量（m3/s）；Q2液压缸回油流量（m3/s）；e液压缸有效容积弹性模数（N/m2），表示压力相对体积的变化率。,液压缸进油腔容积为,液压缸回油腔容积为,（4.4）,（4.5）,式中V02，V01分别为液压缸左右两腔的初始容积，是常数；AP液压缸活塞的有效工作面积。,液压缸左右两腔的总容积为,式中V0活塞处于中间位置时左右腔的容积。,对（4.4）式求导得(4.6),对（4.5）式求导得(4.7),（4.8）式加（4.9）式得(4.10),（4.9）式减（4.8）式得(4.11),液压缸两腔的压差为(4.8),油泵的供油压力为(4.9),油泵的供油压力恒定，则=常数,对（4.10）求导得,对（4.11）求导得,（4.12）,（4.13）,式（4.2）减（4.3）后，并将（4.6）、（4.7）、（4.12）、（4.13）代入，得,（4.14）,令式中,又因为,由（4.14）式得,(4.2),(4.3),(4.6),(4.7),(4.12),(4.13),（4.15）,两腔的压差PL,负载流量QL,有效工作面积Ap,总容积Vt,流量方程,液压缸力平衡方程的建立,根据物理模型建立其液压缸力学方程,(4.16),两腔的压差PL,运动部件与非运动件间的粘滞阻尼系数,有效工作面积Ap,所有x方向运动部件质量m,刀架位移,活塞杆刚度系数,切削力,力平衡方程,将（4.15）、（4.16）、（4.20）式拉氏变换，令初始条件为零则(4.21)(4.22)(4.23),（4.15）,(4.16),(4.20),力学方程,流量方程,伺服阀运动方程,由式(4.21)得(4.24),将式(4.22)改写为(4.25),（4.21）,（4.22）,（4.23）,图4.11负载压降与液压缸位移传递框图,（4.23）,（4.24）,（4.25）,控制系统的框图不是唯一的,（4.28）,（4.23）,（4.24）,（4.25）,（4.25）和（4.28）另外一种控制框图,（4.28）,（4.25）,（式4.25）和（式4.28）另外一种控制框图4.12,同一系统两种不同的液压缸位移传递框图,由图4.11得,(4.26),由图4.11得,(4.27),由式(4.22)和式(4.26)得,(4.26),（4.22）,(4.27),(4.31),(4.32),由式(4.32)变换得,由式(4.31)得,(4.32),(4.33),式中：为总流量压力系数。,液压缸位移,伺服阀位移,负载扰动力,(4.34),忽略系统的弹性系数时的筒化模型当k=0时，分母第三项可写成，显然阻尼力液压缸输出力泄漏损失流量液压缸运动所需的流量，故，则可以忽略。式(4.33)筒化后可写成,1,(4.33),如果式中fp小到可以忽略不计，则或,式中：无阻尼液压固有频率，；,液压阻尼比，无量纲；,速度常数(或称开环放大系数)，。,(4.35),(4.36),(1)只考虑负载扰动力F，而不计输入信号时的传递函数为,(4.37),(2)只考虑伺服阀位移，而不考虑干扰力F时的传递函数为,(4.38),3液压仿形刀架系统传递函数的建立,建立以样板为输入，刀架位移为输出的传递函数。,（4.39）,(4.38),液压仿形刀架结构原理图,伺服阀,液压缸,仿形机构,仿形样板,刀架,触头位移Xi,阀芯位移Xe,节流口,（放大元件）,（执行元件）,油缸位移X0,带有负反馈的控制阀。在零开口附近工作,恒压油源压力,3液压仿形刀架系统传递函数的建立,（4.40）,式中是引起的阀芯位移；是引起的阀芯位移。,对（4.40）式进行拉氏变换，并令初始条件为零，则,（4.41）,图4.14阀芯位移示意图,阀套位移量,由（4.39）式和（4.41）式建立系统传递框图如图4.15所示。,图4.15仿形刀架系统传递框图,（4.39）,（4.41）,系统闭环传递函数为,(4.42),如果令式中开环增益,固有频率,阻尼比,则由（4.42）式得,（4.43）,(4.42),则系统的闭环传递框图如图4.16所示。,图4.16仿形刀架系统传递框图,其系统的开环传递函数为,（4.44）,4绘制系统的波德图,已知参数。伺服阀面积变化率（即表示滑阀每移动1cm，开口面积变化多少cm2）；流量系数；油液密度；供油压力；液压缸有效容积弹性模数，杠杆比；总负载质量；液压缸行程H=11cm；液压缸有效工作面积AP=38.5cm2,阻尼比。,开环增益,系统固有频率,开环传递函数,（2）绘制对数相频特性曲线,比例环节，积分环节振荡环节在已知的情况下，,转角频率,相位交界频率,增益交界频率,5系统稳定性判断,开环状态是否稳定开环传递函数的特征方程在s平面右半部有无极点,开环传递函数的特征方程,此式积分环节的零根通常按负实根处理，而振荡环节的根为,此系统在开环状态下是稳定的，即m=0。闭环稳定的充分和必要条件是对数幅频特性的所有频率下，相频特性曲线在线正负穿越次数之差为0，由波德图看出确实没有穿越，故该系统稳定。,6求系统的相位裕量和增益裕量,（1）求系统的相位裕量,简便作图方法精确计算方法。由比例环节G1(s)和积分环节G2(s)的传递函数决定，即,其频率响应为,求增益交界频率，,则,即,则,相位裕量，若求在已知增益交界频率的情况下的相位裕量，可首先通过（4.40）式列写振荡环节的相角，则,则,在处三个环节相角的叠加求得总的相角，,则,则相位裕量为,1.0163j0.0999,（2）求系统的增益裕量,相位交界频率，简化计算，因为积分环节是,所以只计算振荡环节与-90o线的交点频率即可。而且是振荡环节的转角频率,所以应等于系统的固有频率。已知也即，通过（4.28）式可求出相位交界频率下的幅值，即为增益裕量。,由此上式可见频率特性虚部为零，则增益裕量为,所以，系统的增益裕量为+11.51dB。,如果按三个环节分别计算后再叠加，由波德图4.17可见，则,两种计算方法所得增益裕量相差+4.437dB。其原因是因为在处的对数幅频特性是由渐近线获得，,即,如果将代入下式计算可得处的对数幅频特性值。,则,液压仿形刀架结构原理图,伺服阀,液压缸,仿形机构,仿形样板,刀架,触头位移Xi,阀芯位移Xe,节流口,（放大元件）,（