模糊数学第一章小结

1,第一章模糊集合及其运算小结,1模糊集合与隶属函数2模糊集合的运算3模糊集合的分解定理与表现定理4模糊性的度量,2,设为论域，则称由如下实值函数A：0，1，uA(u)所确定的集合A为上的模糊集合，而称A为模糊集合A的隶属函数，A(u)称为元素u对于A的隶属度。记F(U)为U上所有模糊集合的全体.称F(U)为U的模糊幂集。为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u),1.模糊集合与隶属函数,1.2模糊集合与隶属函数(1/5),目录,3,2模糊集合的运算,1.2模糊集合与隶属函数(5/5),(1).设A,BF(U),则(i)ABiffA(u)B(u),uU;(ii)A=BiffA(u)=B(u),uU;(iii)AB:(AB)(u)=maxA(u),B(u)=A(u)B(u),uU;(v)AB:(AB)(u)=minA(u),B(u)=A(u)B(u),uU;(vi)A:A(u)=1A(u),uU.如下图所示:,目录,4,(2)在(F(U),)中,幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和DeMorgan对偶律均成立,但排中律不成立.即(1)幂等律：AA=A,AA=A;(2)交换律：AB=BA,AB=BA;(3)结合律：(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律：(AB)B=B,(AB)B=B;(5)分配律：A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);(6)复原律：(A)=A;(7)两极律：AU=U,AU=A,A=A,A=;(8)DeMorgan律：(AB)=AB,(AB)=AB.但是,AAU,AA,5,(3)两个模糊集合的并、交运算可推广到一般情形.即设T为任意给定的指标集,tT,AtF(U),则(tTAt)(u)=tTAt(u);(tTAt)(u)=tTAt(u).,目录,6,3模糊集合的分解定理与表现定理(1)设AF(U),任取0,1,记A=uU|A(u),AS=uU|A(u).分别称A和AS为模糊集合A的截集和强截集,而称为阀值或置信水平.,目录,7,(2)设AF(U),则(1)0,1,ASA;(2)A0=U,AS1=;(3)1,20,1且12,A2A1;(4)1,20,1且12,AS2AS1.,目录,8,(3)设A,BF(U),0,1,则(1)(AB)=AB;(2)(AB)=AB;(3)(AB)S=ASBS;(4)(AB)S=ASBS.,9,(4)设T为任意指标集,tT,AtF(U),则(1)(tTAt)tT(At);(2)(tTAt)=tT(At);(3)(tTAt)S=tT(At)S;(4)(tTAt)StT(At)S.,目录,10,(5)分解定理:设AF(U),则A=0,1A(1-4-1)分解定理:设AF(U),则A=0,1AS(1-4-3),11,分解定理:设AF(U),令集值映射H:0,1P(U)H()满足:0,1,ASH()A,则(1)A=0,1H()(1-4-5)(2)对1,20,1,12H(1)H(2);(3)0,1,有A=H()(1-4-7),目录,12,(6)设H:0,1P(U),H()为一个集值映射,若H满足12H(1)H(2),则称H为U上的一个集合套.记U(U)为论域U上的集合套的全体.,目录,13,(7)表现定理:设H为U上的任一集合套,则A=0,1H()F(U)且0,1,有(1)A=H().设HU(U),则A=0,1H()的隶属函数为A(u)=0,1|uH(),uU.,14,4模糊性的度量(1)设映射D:F(U)0,1满足下列5条性质:1)清晰性:D(A)=0,当且仅当AP(U)2)模糊性:D(A)=1,当且仅当uU,A(u)=0.53)单调性:若uU,A(u)B(u)0.5,或者A(u)B(u)0.5,则D(A)D(B)4)对称性:AF(U),D(A)=D(A)5)可加性：D(AB)+D(AB)=D(A)+D(B)则称D为定义在F(U)上的模糊度函数，称D(A)为模糊集A的模糊度。,15,(2)设U=u1,u2,un,AF(U),则是一个模糊度.,16,通常称为A的Minkowski模糊度。特别地，当p=1时，称为A的Hamming模糊度，或称为Kaufmann模糊指标当p=2时，称为A的Euclid模糊度,17,(3)设U=u1,u2,un,AF(U),则为A的模糊度，H(A)