第1节_基本概念

1/35,近世代数郭长勇Email：hit_gcy计算机学院软件与理论教研室,2/35,近世代数又名抽象代数，是数学中最重要的、基础的分支之一，是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H.Abel)、法国数学家伽罗瓦(E.Galois)、英国数学家德摩根(A.DeMorgan)和布尔(G.Boole)等人都做出了杰出贡献。荷兰数学家范德瓦尔登(B.L.VanDerWaerden)根据德国数学家诺特(A.E.Noether)和奥地利数学家阿廷(E.Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了近世代数学一卷和二卷，标志着抽象代数的成熟。,引言,3/35,代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律及各种代数结构的性质为中心问题。它对现代数学如扑拓学、泛函分析等以及一些其他科学领域，如计算机科学、编码理论等，都有重要影响和广泛地应用。,引言,4/35,主要内容：半群与幺半群(6学时)群(16学时)环与域(6学时)格(6学时)布尔代数(6学时),主要内容,5/35,第1节基本概念,主要内容:二元运算的定义运算规律特异元素代数系统,6/35,定义1.1设S为集合，映射f：SSS称为S上的一个二元运算，简称为二元运算S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭,二元运算,7/35,例1.1(1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是(3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是,二元运算,8/35,(4)设Mn(R)表示所有n阶(n2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(5)S为任意集合，则、为P(S)上二元运算.(6)SS为S上的所有映射的集合，则合成运算为SS上二元运算.,实例,9/35,定义1.2设S为集合，映射f:SS称为S上的一元运算，简称一元运算.例1.2(1)求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.(2)求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元运算.(3)求共轭复数是复数集合C上的一元运算.(4)在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算是P(S)上的一元运算.(5)设S为集合，令A为S上所有双射的集合，ASS，求一个双射的逆映射为A上的一元运算.,一元运算的定义与实例,10/35,(1)算符可以用,等符号表示二元或一元运算，称为算符.对二元运算，如果x与y运算得到z，记做xy=z.对一元运算，x的运算结果记作x.,(2)表示二元或一元运算的方法:解析公式和运算表a)公式表示例设R为实数集合，如下定义R上的二元运算：x,yR,xy=x.那么34=3，0.5(3)=0.5.,二元与一元运算的表示,11/35,b)运算表：表示有穷集上的一元和二元运算,二元运算的运算表,运算表,一元运算的运算表,12/35,例1.3设S=P(a,b)，S上的和运算的运算表如下.,运算表的实例,13/35,定义1.3设为非空集合S上的二元运算,(1)若对x,y,zS有(xy)z=x(yz),则称运算(在S上)满足结合律.(2)若对x,yS有xy=yx,则称运算(在S上)满足交换律.,二元运算的规律(1),14/35,定义1.4设和为非空集合S上两个不同的二元运算,(1)若对x,y,zS有z(xy)=(zx)(zy)，则称运算对运算满足左分配律.(2)若对x,y,zS有(xy)z=(xz)(yz)，则称运算对运算满足右分配律.(3)若对x,y,zS有(xy)z=(xz)(yz)，z(xy)=(zx)(zy),则称运算对运算满足分配律.,二元运算的规律(1),15/35,Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的映射集合，|A|2.,实例,16/35,Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的映射集合，|A|2.,实例,17/35,定理1.1设为非空集合S上的二元运算，若运算满足结合律，则aiS，i=1,2,n，n个元素a1,a2,an的乘积(关于运算的运算结果a1a2an)仅与这n个元素及其顺序有关而唯一决定.,二元运算的性质,证明对n应用数学归纳法证明.,注意由于这个定理，假如结合律成立，我们就随时可以应用a1a2an这个符号，这对我们来说是一件极方便的事情.结合律的重要性也就在此.,18/35,二元运算的性质,定理1.2设为非空集合S上的二元运算，若运算满足结合律和交换律，则aiS，i=1,2,n，n个元素a1,a2,an的乘积a1a2an仅与这n个元素有关而与其顺序无关.,19/35,定理1.3设和为非空集合S上两个不同的二元运算，如果运算满足结合律，运算对运算满足左(右)分配律，则a,aiS，i=1,2,n，有a(a1a2an)=(aa1)(aa2)(aan);(a1a2an)a=(a1a)(a2a)(ana).,二元运算的性质,注意分配律的重要性在于能够让两种代数运算间有一种联系.,20/35,定义1.5设为S上的二元运算,(1)如果存在el(或er)S，使得对任意xS都有elx=x(或xer=x)，则称el(或er)是S中关于运算的左(或右)单位元.若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元.单位元也叫做幺元.,特异元素：单位元,21/35,(2)如果存在l(或r)S，使得对任意xS都有lx=l(或xr=r)，则称l(或r)是S中关于运算的左(或右)零元.若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算的零元.,特异元素：零元,22/35,(3)设为S上的二元运算,令e为S中关于运算的单位元.对于xS，如果存在yl(或yr)S使得ylx=e（或xyr=e）则称yl(或yr)是x的左逆元（或右逆元）.关于运算，若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元.如果x的逆元存在，就称x是可逆的.,可逆元素和逆元,23/35,实例,24/35,定理1.4设为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el=er=e为S上关于运算的惟一的单位元.类似地可以证明关于零元的惟一性定理.注意当|S|2，单位元与零元是不同的；当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元.,单位元惟一性定理,25/35,定理1.5设为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于xS如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.说明对于可结合的二元运算，可逆元素x只有惟一的逆元，记作x1.,逆元惟一性定理,26/35,二元运算的规律(2),定义1.6设为非空集合S上二元运算，如果x,y,zS，若xy=xz，且x不是零元，则y=z；若yx=zx,且x不是零元，则y=z.那么称运算(在S上)满足消去律.,实例:(1)Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律.(2)Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律.(3)Zn关于模n加法满足消去律，当n为素数时关于模n乘法满足消去律.当n为合数时关于模n乘法不满足消去律.,27/35,定义1.7非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,fk组成的系统称为代数系统,简称代数系，记做(S,f1,f2,fk).,代数系统,28/35,实例:(1)(N,),(Z,),(R,)是代数系统，+和分别表示普通加法和乘法.(2)(Mn(R),)是代数系统，和分别表示n阶(n2)实矩阵的加法和乘法.(3)(Zn,)是代数系统，Zn0,1,n-1，和分别表示模n的加法和乘法，对于x,yZn，xy=(xy)modn，xy=(xy)modn(4)(P(S),)是代数系统，和为并和交，为绝对补,代数系统,29/35,构成代数系统的成分：集合（也叫载体，规定了参与运算的元素）运算（这里只讨论有限个二元和一元运算）代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）研究代数系统时，如果把运算具有它的特异元素也作为系统的性质之一，那么这些特异元素可以作为系统的成分，叫做代数常数.例如：代数系统(Z,+,0)：集合Z,运算+,代数常数0.代数系统(P(S),)：集合P(S),运算和，无代数常数.,代数系统的成分与表示,30/35,(1)列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）如(Z,+,0),(P(S),)(2)列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）如(Z,+),(P(S),)(3)用集合名称简单标记代数系统在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用如代数系统Z,P(B),代数系统的表示,31/35,练习1,1设运算为Q上的二元运算，x,yQ,xy=x+y+2xy,(1)判断运算是否满足交换律和结合律，并说明理由.(2)求出运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.,(1)运算可交换，可结合.任取x,yQ,xy=x+y+2xy=y+x+2yx=yx,任取x,y,zQ,(xy)z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx(yz)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,32/35,(2)设运算的单位元和零元分别为e和，则对于任意x有xe=x成立，即x+e+2xe=xe=0由于运算可交换，所以0是幺元.对于任意x有x=成立，即x+2x=x+2x=0=1/2给定x，设x的逆元为y,则有xy=0成立，即x+y+2xy=0(x1/2)因此当x1/2时，是x的逆元.,解答,33/35,2下面是三个运算表(1)说明那些运算是可交换的、可结合的.(2)求出每个运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.,练习2,34/35,解,解答,(1)*满足交换律，满足结合律.不满足交换律，满足结合律.满足交换律，满足结合律.(2)*的单位元为b，没有零元，a1=c,b1=b,c1=a的单位元和零元都不存在，没有可逆元素.的单位元为a，零元为c，a1=