数学分析华师大版18-4

18.4条件极值,一、极值,二、条件极值拉格朗日乘数法,一、极值,若函数在点的某个邻域内成立不等式,则称在点取到极大值，点称为函数的极大点；,类似地，,若函数在点的某个邻域内成立不等式,则称在点取到极小值，点称为函数的极小点；,极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点统称为极值点。,由定义可见，若在点取得极值，则当固定时，一元函数必定在取相同的极值。,同理，一元函数在也取相同的极值。于是由一元函数极值的必要条件，可得,上述条件不是充分的，例如函数在原点（0，0）有,但此函数的图形是一马鞍面，因而在原点没有极值。,设二元函数在点的偏导数存在，若在取得极值，则,于是得到二元函数取得极值的必要条件如下：,称满足上式的点为的驻点或稳定点。,此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如：,这是交于Y轴的两个平面。虽然，的点都是函数的极小点，但是当时，偏导数不存在。,综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。,如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式,为此我们考察,当点在附近变动时是否有恒定的符号。,的符号。,设的二阶偏导数连续，且，由泰勒公式有,由于的二阶偏导数连续，所以,记,从而,于是,因为当时，都是无穷小量，所以当,时，存在点的一个邻域，使得的符号与的符号相同，而当，的符号便取决于的符号了。,对于二次型,它的判别式为,实二次型为正定的必要条件是行列式,实二次型为正定的充要条件是矩阵A的顺序主子式都大于零。,实二次型为负定的充要条件是矩阵A的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。,那末有以下结论：,当时，函数有极值；,若，则函数有极大值。,若，则函数有极大值。,当时，函数没有极值；,当时，函数有无极值还需进一步考察判定。,例1求的极值。,解,分别对和求偏导数并令其等于零，得方程组,解方程组得的稳定点,再求的二阶偏导数在的值：,因为,且,所以有极小值：,例2讨论是否存在极值。,解,分别对和求偏导数并令其等于零，得方程组,解方程组得的稳定点为原点：,再求的二阶偏导数在的值：,因为,所以无极值。,最大值、最小值问题,设函数在某一有界闭区域中连续且可导，则必在上达到最大值（或最小值）。若这样的点位于区域的内部，那末在这点函数显然有极大值（或极小值）。因此在这种情形，函数取到最大值（或最小值）的点必是极值点之一。然而函数的最大值（或最小值）也可能在区域的边界上达到。因此，为了找出函数在区域上的最大值（或最小值），必需要找出所有有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数极值相比较，这些数值中的最大者（或最小者）就是函数在闭域上的最大值（或最小值）,例3有一块薄铁皮，宽24厘米，把两边折起，做成一槽，求和倾角，使槽的梯形截面的面积最大。,解,槽的梯形截面面积为,问题归结为求的最大值，先求稳定点,解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点,由于在这个问题中，最大值必达到，因此当,时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为,条件极值：对自变量有附加条件的极值,二条件极值拉格朗日乘数法,求解方程组,解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.,解,则,例4求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(2),(1)及(3),(2)得,由(2),(1)及(3),(2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此点处取得。,故，最大值,最大值一定存在，,解,则,由(1)，(2)得,由(1)，(3)得,将(5)，(6)代入(4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，最