第八章 模糊数学建模

第九章,模糊数学建模,提纲,序言基本概念：模糊集和录属函数模糊决策：模糊综合评判,?,一、序言模糊数学是研究什么的？,模糊现象：“亦此亦彼”的不分明现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”等等，此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,秃子悖论:天下所有的人都是秃子,设头发根数为n,n=1显然,若n=k为秃子,则n=k+1亦为秃子,模糊概念,模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,术语来源,Fuzzy:毛绒绒的，边界不清楚的，模糊的，不分明的,模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.模糊产品：洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,模糊概念导致模糊现象,模糊数学的产生与基本思想,产生,1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章模糊集(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3等.,如：考虑年龄集U=0,100，A=“年老”，A也是一个年龄集，u=20A，40呢？查德给出了“年老”集函数刻画:,1,0,U,50,100,再如，B=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,二、模糊数学基本概念,模糊子集与隶属函数,一般地，为研究某事物的规律性，总是先给定义目标集，如研究年龄规律，取0，130，它表达了问题的总范围，称为论域,一般记为U。下面在论域U上定义模糊集：设U是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度。,使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性。当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数。可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,还可用向量表示法：,A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).,另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集.从上例可看出：(1)一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的；(2)一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的.,模糊集的运算,相等：A=BA(x)=B(x)；包含：ABA(x)B(x)；并：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).其中，“”表示二者之间取小“”表示二者之间取大,例设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设,A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).,则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.,Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).,可见AcB,BcA.,又AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；,对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；,对偶律的证明：对于任意的xU(论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x),模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即AAcU，AAc.模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则,A0.9(90分以上者)=u5,u6,A0.6(60分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.,隶属函数的确定方法,1.模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2.指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3.借用已有的“客观”尺度,模糊数学方法简介,模糊聚类分析模糊模型识别模糊决策模糊线性规划模糊控制,三、模糊综合评判方法（一）模糊关系1、关系，描写事物之间联系的数学模型之一就是关系，常用符号“X”来表示。2、模糊关系，是普遍关系的推广，普通关系只能描述元素间关系的有无，而模糊关系则描述元素之间关系的多少。例在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘米）100来表示标准体重，这就给出了身高（A）与体重（B）的普通关系。若A=140，150，160，170，180B=40，50，60，70，80身高与体重的普通关系如表1所示：,表1：身高与体重的普通关系,但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导致产生如表2所示的模糊关系。它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系。,表2：身高与体重的模糊关系,（二）模糊矩阵当论域AB为有限集时，模糊关系可以用矩阵形式来表示，该矩阵元素rij，满足0rij1，表集合A中第i个元素和集合B中第个j元素之间的关联程度。此矩阵称为模糊矩阵。,（三）模糊综合评判方法与步骤：（1）确定评价指标集合论域U：U=U1，U2，Un（n为指标项目数）（2）确定评语集合论域V：V=V1，V2，Vm（m为评语等级数）（3）各因素权重A=a1,a2，an（4）建立模糊综合评判矩阵R=(rij)nm（5）综合评判模型模型1M(,)主因素决定型bj=max(airij),1in(j=1,2,m)模型2M(.,)主因素突出型bj=max(ai.rij),1in(j=1,2,m)模型3M(.,+)加权平均模型bj=(ai.rij)(j=1,2,m),下面以电脑评判为例来说明如何评价。某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：“运算功能（数值、图形等）”；“存储容量（内、外存）”；“运行速度（CPU、主板等）”；“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；价格”。于是请同宿舍同学一起去买电脑。为了数学处理简单，先令,=“运算功能（数值、图形等）”；,=“存储容量（内、外存）”；,=“运行速度（CPU、主板等）”；,=“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；,=“价格”。,称,因素集。,评语集,其中,=“很受欢迎”；,=“较受欢迎”；,=“不太受欢迎”；,=“不受欢迎”；,任选几台电脑，请同学和购买者对各因素进行评价。,若对于运算功能有20%的人认为是“很受欢迎”，50%的人认为“较受欢迎”，30%的人认为“不太受欢迎”，没人认为“不受欢迎”，则的单因素评价向量为,同理，对存储容量，运行速度，外设配置和价格,分别作出单因素评价，得,组合成评判矩阵,据调