第13章应变分析

第13章应变分析,第一节位移与应变第二节质点的应变状态和应变张量第三节小应变几何方程、应变连续方程第四节塑性变形体积不变条件第五节速度分量和速度场、位移增量和应变增量第六节对数应变第七节平面应变问题和轴对称问题,4、点的应变状态与应力状态相类比,可以求出该点任意方向上的线应变xyz和切应变xyyzzx存在三个相互垂直的主方向，对应有主应变1、2、3，应变状态特征方程。存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且塑性变形时体积不变I1=0存在主切应变1、12、13与主方向成45角）应变球张量和应变偏张量分别表示体积变化和形状变化存在八面体应变和等效应变,（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用1、2、3表示主应变，则主应变张量为,主应变可由应变状态特征方程,（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且,（3）在与主应变方向成45方向上存在主切应变，其大小为,等效应变的特点是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变1。等效应变又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。,二、位移分量和应变分量的关系小变形几何方程,设单元体棱边长度为dx、dy、dz，它在xoy平面上的投影为abdc，变形后的投影移至a1b1d1c1,点变形后移到a1点后，所产生的位移分量为u、v，则b点和c点的位移增量为,根据图中的几何关系，可以求出棱边ac（dx）在x方向的线应变x为,以及棱边ab（dy）在y方向的线应变,由图中的几何关系，可得,因为，其值远小于1，所以有,则工程切应变为,切应变为,小变形几何方程,按照同样的方法，由单元体在yoz和zox坐标平面上投影的几何关系，得其余应变分量与位移分量之间的关系式，综合在一起为,三、应变连续方程（应变协调方程）,应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程,将几何方程中的x、y分别对y、x求两次偏导数，可得,小应变几何方程,同理可得另外两式，连同上式综合在一起可得,对式中的三个切应变等式分别对x、y、z求偏导，得,将上面的前两式相加后减去第三式，得,再对上式两边对y求偏导数，得,表明，在物体的三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。,在坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定,统称变形连续方程或应变协调方程,四、应变增量和应变速率,全量应变：单元体在某一变形过程或变形过程中的某个阶段结束时的变形大小。全量应变适用于解决小变形问题。塑性成形问题一般是大变形。大塑性变形的全过程十分复杂。通常采用无限小的应变增量描述某一瞬间的变形，整个变形过程可看作是许多瞬间应变增量的累积。、速度场和速度分量在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速度运动，形成一个速度场。将质点在单位时间内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量，即,全量速度分量,应变增量是塑性成形理论中最重要的概念之一。塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量。可以采用无限小的应变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作是一系列瞬时应变增量的积累。,单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度，用ij表示，单位为s1。设在时间间隔dt内产生的应变增量为dij，则应变速率为,应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。与式类似，应变速率,一点的应变速率也是二阶对称张量，称为应变速率张量,注意，应变速率ij是应变增量dij对时间的微商，通常并不是全量应变的微分。应变速率张量与应变增量张量相似，用来描述瞬时变形状态。,第七节平面问题和轴对称问题,一、平面应力问题,平面应力状态假设变形体内各质点与某坐标轴垂直的平面上没有应力，且所有的应力分量与该坐标轴无关，如图所示。,图中，只有三个独立的应力分量，且沿z方向均匀分布，即应力分量与z轴无关。,平面应力状态的应力张量为,平面应力状态下的应力平衡微分方程为,平面应力状态下任意斜微分面上的正应力、切应力和主应力均可求得。由于3=0，所以平面应力状态下的主切应力为,纯切应力状态（即纯剪状态）是平面应力状态的特殊情况，见图,纯切应力1等于最大切应力，主轴与坐标轴成/4，切应力在数值上等于主应力，。因此，若两个主应力在数值上相等，但符号相反，即为纯切应力状态。,平面应力状态中z方向虽然没有应力，但是有应变存在；只有在纯剪切时，没有应力的方向才没有应变。,二、平面应变问题,如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属于平面变形或平面应变问题。,设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零，其余两个方向的位移分量对z的偏导数必为零，所以，则平面应变状态的三个应变分量为，且满足以下几何方程,根据体积不变条件有,平面变形状态下的应力状态有如下特点：1）没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面，z为中间主应力，在塑性状态下，z等于平均应力，即,2）由于应力分量x、y、xy沿z轴均匀分布，与z轴无关，所以平衡微分方程与平面应力问题相同。,3）如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成,上式表明，平面塑性变形时的应力状态就是纯切应力状态叠加一个应力球张量。,第十六章屈服准则,基本要求：1掌握金属材料最常用的两个屈服准则屈雷斯加屈服准则和密塞斯屈服准则；2了解塑性力学的假设和简化模型，了解硬化材料的屈服准则。,二、屈雷斯加（H.Tresca）屈服准则,1864年法国工程师H.Tresca根据库仑（C.A.Coulomb）在土力学中的研究结果，并从自己所做的金属挤压实验所观察到的滑移痕迹出发，提出材料的屈服与最大切应力有关，即当材料质点中最大切应力达到某一定值时，该质点就发生屈服。,Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件。当时，,式中常数C可通过单向拉伸实验来确定，单向拉伸屈服时,可得C=S/2，则上式写成,若不知主应力大小顺序，则Tresca屈服准则写成,三个式子只要满足一个，该点即发生屈服。对于平面变形以及主应力为异号的平面应力问题，,用任意坐标系应力分量表示的屈服准则为,三、密塞斯（VonMises）屈服准则,密塞斯屈服准则可以表述为：当应力偏张量的第二不变量J2达到某定值时，材料就会屈服。更为方便的表述方式是：当应力状态的等效应力达到某一与应力状态无关的定值时，材料就屈服；或者说，材料处于塑性状态时，等效应力始终是一不变的定值。密塞斯屈服准则的表达式为：,常数C根据单向拉伸实验确定为S，于是Mises屈服准则可写成,第三节屈服准则的几何表达,一、主应力空间中的屈服表面以主应力为坐标可以构成一个主应力空间，如图，在主应力空间中，任一应力点可用矢量OP来表示。过坐标原点O引等倾线ON，其方向余弦，线上任一点的三个坐标分量均相等，即，表示球应力状态。由P点引一直线PMON，则矢量OP可分解为OM和MP，这时，OM表示应力球张量部分，MP表示应力偏张量部分。,根据Mises屈服准则，当时，材料就屈服，故P点屈服时有,因此，若以M为圆心，为半径，在垂直于ON的平面上作一圆，则该圆上各点的应力偏张量的模都为，所以圆上各点都进入塑性状态。由于球应力OM不影响屈服，所以，以ON为轴线，以为半径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足Mises屈服准则。这个圆柱面就是Mises屈服准则在主应力空间中的几何表达，称为主应力空间中的Mises屈服表面，如图,采用同样的分析方法，Tresca屈服准则的表达式（16-17）在主应力空间中的几何图形是一个内接于Mises圆柱面的正六棱柱面，称为主应力空间的Tresca屈服表面，如图,屈服表面的几何意义是：若主应力空间中一点的应力状态矢量的端点P位于屈服表面，则该端点处于塑性状态；若P点在屈服表面内部，则P点处于弹性状态。对于理想塑性材料，P点不能在屈服表面之外。,二、平面应力状态的屈服轨迹,将3=0代入Mises屈服准则的表达式得,上式是12坐标平面上的一个椭圆，,长半轴为，短半轴为，与原坐标轴的截距为。这个椭圆就是平面应力状态的Mises屈服轨迹，称为Mises椭圆。,同样，将3=0代入Tresca屈服准则的表达式，可得平面应力状态的Tresca屈服准则,由上构成一个内接于Mises椭圆的六边形，这就是平面应力状态的Tresca屈服轨迹，称为Tresca六边形。,任一平面应力状态都可用12平面上一点P表示，并可用矢量OP来表示。如P点在屈服轨迹的里面，则材料的质点处于弹性状态，如P点在轨迹上，该质点处于塑性状态。对于理想塑性材料，P点不可能在轨迹的外面。,1两个屈服轨迹有六个交点，在六个交点处两屈服准则是一致的,2与坐标轴相交的四个点表示单向应力状态,3与椭圆长轴相交的两个点是轴对称,4两屈服轨迹不相交的地方，Mises椭圆上的点均在Tresca六边形之外，表示按Mises屈服需要较大的应力,5两准则差别最大的有六个点（B、D、F、H、J、L），它们的坐标可分别由式对1和2求极值得到,表示纯切应力状态,6这六个点的中间应力等于平均应力，它们既表示平面应力状态又表示平面应变状态。,三、平面上的屈服轨迹,在主应力空间中，通过坐标原点，并垂直于等倾线ON的平面称为平面。其方程为,平面与两个屈服表面都垂直，故屈服表面在平面上，这就是平面上的屈服轨迹。,在平面上m=0，说明平面上任一点无应力球张量的影响，任一点的应力矢量均表示偏张量。因此，平面的屈服轨迹更清楚地表示屈服准则的性质。,比较两屈服准则的区别：,（1）物理含义不同：Tresca：最大剪应力达到极限值KMises：畸变能达到某极限（2）表达式不同;（3）几何表达不同：Tresca准则：在主应力空间中为一垂直平面的正六棱柱；Mises准则：在主应力空间中为一垂直于平面的圆柱。(平面:在主应力坐标系中，过原点并垂直于等倾线的平面),两准则的联系：,（1）空间几何表达：Mises圆柱外接于Tresca六棱柱；在平面上两准则有六点重合；（2）通过引入罗德参数和中间主应力影响系数，可以将两准则写成相同的形式：其中称为中间主应力影响系数称为Lode参数。,4塑性应力应变关系（本构关系）,基本要求：1掌握连续、均质、各向同性固体金属的塑性本构关系；2了解金属粉末体和粘性材料的本构关系的特点。,4.1弹性应力应变关系4.2塑性变形时的应力应变关系的特点4.3塑性变形的增量理论（流动理论）4.4塑性变形的全量理论（形变理论）4.5塑性应力应变关系的实验验证4.6最大逸功原理,4.1弹性应力应变关系,一、广义虎克定律单向应力状态时的弹性应力应变关系就是熟知的虎克定律将它推广到一般应力状态时的各向同性材料，就叫广义虎克定律：E-弹性模数；-泊松比；G-剪切模数，G=E/2（1+）。,4.1弹性应力应变关系,4.1弹性应力应变关系,同理,广义虎克定律可写成张量形式,广义虎克定律还可以写成比例及差比的形式,进行整理得：屈服时的弹性变形能为,这就是密席斯屈服准则的物理意义。,二、弹性变形能物体在外力作用下产生弹性变形，如物体保持平衡且无温度变化，则外力所做的功将全部转换成弹性势能。单位体积中的弹性能等于各个对应的应力、应变分量乘积之和的一半，即:,4.2塑性变形时的应力应变关系的特点,弹性应力应变关系具有如下特点：1）应力与应变成线形关系；2）由于弹性变形是可逆的，所以应力与应变之间是单值关系；3）应力主轴与应变主轴重合；4）应力球张量使物体产生弹性体积变化，所以泊松0.5。塑性变形时全量应变与应力之间的关系则完全不同：1）塑性变形可以认为体积不变。应变球张量为零，泊松比=0.5；2）应力与应变之间的关系是非线性的；3）全量应变与应力的主轴不一定重合；4）塑性变形是不可恢复的，应力与应变之间没有一般的单值关系，而是与加载历史或应变路线有关。,4.3塑性变形的增量理论（流动理论）,增量理论又称流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论，它是针对加载过程中的每一瞬间的应力状态所确定的该瞬间的应变增量，这样就撇开了加载历史的影响。1.列维-密席斯方程该理论包含以下假定：（1）材料是理想刚塑性材料，也即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量。（2）材料符合密席斯屈服准则；（3）塑性变形时体积不变，即;,(4)应力主轴和应变增量的主轴重合；（5）应变增量和应力偏张量成正比，即,式中d为瞬时的非负比例系数，它在变形过程中是变化的，但在卸载时，d=0。上式就是密席斯方程的关键性的表达式。,由于，所以该式与广义虎克定律式形式上相似，也可以写成比例形式和差比形式：,由上两式可以证明平面变形和轴对称问题的一些结论：,1）平面塑性变形时，设z向没有变形，则有，则得,2）若两个正应变增量相等，其对应的应力也相等。例如在某些轴对称问题中，由式（17-6）有，因此。,Levy-Mises方程仅适用于理想刚塑性材料，它只给出了应变增量与应力偏量之间的关系。由于，因而不能确定应力球张量。因此，如果已知应变增量，只能求得应力偏量分量，一般不能求出应力。另一方面，如果已知应力分量，因为为常数，是不定值，也只能求得应变增量各分量之间的比值，而不能直接求出它们的数值。,局限性,2.应力-应变速率方程（圣维南塑性流动方程）,将式（17-6）两边除以时间dt，可得,3.普郎特-劳斯方程:分析上式可知，如dij为已知，则应力张量i