《计算机数学基础》-第11章随机变量

第11章随机变量的分布与数字特征,11.1随机变量的分布,11.1.1离散型随机变量及其概率分布,定义1设离散型随机变量的全部可能取值为(),且取的概率为,即,由概率的性质可知,分布列具有如下性质:：(1);(2).,例1袋中有个球，其中个黑球，个白球，现从中随机地抽取个，求取到白球的分布列,解设表示取出的白球的个数，则的可能取值为，1，2，并且有,于是的分布列为,例2某设备由三个独立工作的元件构成,该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为0.1,试求该设备在一次试验中发生故障的元件数的分布列.,解设为一次试验中发生故障的元件数,则的可能取值为0,1,2,3.该试验可看成三重独立试验,于是有,例3设随机变量的分布列为,求（1）；（2）；（3）.,解由随机变量的分布列知，的可能取值为因此,1两点分布,若随机变量的概率分布为,其分布列为,则称服从参数为的两点分布.,2二项分布,若随机变量的值为,并且,其中,为非负整数,则称服从参数为的二项分布,简记为.,当时二项分布即为两点分布.,例4某人进行射击，设每次射击的命中率为，独立射击次，求至少击中两次的概率,解将一次射击看成一次实验，设击中的次数为，则，于是所求的概率为,3泊松分布,若随机变量的概率分布为,则称服从参数为的泊松分布,简记为.,且有,11.1.3连续型随机变量及其概率分布,定义2对于随机变量，若存在非负可积函数使得对任意的都有,成立，则称为连续型随机变量，称为随机变量的密度函数，或概率密度,对于连续型随机变量有,所以有,密度函数具有如下的性质：（1）；（2）,1均匀分布若随机变量的概率密度为,则称服从上的均匀分布，记作,均匀分布的密度函数具有下列性质：（1）；（2）,2指数分布若随机变量的概率密度为,则称服从参数为的指数分布，记作，其中参数,指数分布的密度函数具有下列性质：（1）；（2）,例5假设某元件的寿命服从参数为的指数分布，求它使用1000小时后还没有损坏的概率解设为该元件的寿命，则,3正态分布若随机变量的概率密度为,其中、为大于零的常数，则称服从参数为、的正态分布，记作,正态分布的密度函数具有下列性质：（1）；（2）,正态分布的密度函数曲线具有如下性质：,（1）在内处处连续；（2）的图形关于对称；（3）在处，取得最大值；（4）曲线在点处对应有拐点；（5）参数确定图形的位置，而参数决定图形的陡峭程度.,特别地，对于，的正态分布，我们称之为标准正态分布，简记为，其密度函数记为,11.1.4分布函数,1分布函数概念,定义3设是一个随机变量，是任意实数，函数称为的分布函数对于任意实数有,2分布函数性质：（1）是一个单调不减函数；即若，那么（2）并且有；（3），即满足右连续,3离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的分布列为,由概率的可列可加性得,即,例6设随机变量的分布列为,求的分布函数，并求，,解由于仅在三点处取值，故,当时，当时，当时，当时，,故,所以,4连续型随机变量的分布函数设为连续型随机变量，其密度函数为，则有,而对上式两端求关于的导数得,这正是连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系.,例7设的分布函数为,求其密度函数，,解,11.1.5随机变量函数的分布,设是一个随机变量,则(为连续函数),作为随机变量的函数,仍是随机变量,下面我们对是离散型的情况进行讨论,设是一个离散型随机变量，其分布列为,是随机变量的函数，则随机变量的分布列为,例10设离散型随机变量的分布列为,求的分布列,解的取值为0，2，4，其对应的概率分别为,因此的分布列为,例11设离散型随机变量的分布列为,求的分布列,解的取值为0，1，4，其对应的概率分别为,11.2随机变量的数字特征,11.2.1数学期望,1离散型随机变量的数学期望,定义4设离散型随机变量的分布律为,若级数绝对收敛，则称其和为随机变量的数学期望，简称期望，记作，即,例13袋中装有10件产品，其中有2件是次品，某人从中一次取一个进行检测，直到取到正品为止，求取得正品前已取出次品数的数学期望,解设表示取得正品前已取出的次品数，则的可能取值为0，1，2，于是有,于是随机变量的数学期望为,下面介绍几种常见的随想变量的数学期望,1）两点分布,若随机变量服从两点分布，其分布列为,则,2）二项分布,若随机变量，即,则,3）泊松分布,若随机变量，即,则,2连续型随机变量的数学期望,定义5设连续型随机变量的密度函数为，若积分,绝对收敛，则称该积分值为随机变量的数学期望，简称期望，记为，即,例14设随机变量具有密度函数,求的数学期望,解,例15设，求,解,例16设（），求,解,例17设，求,解,3数学期望的性质：,（1）设为一常数，则；,（2）设为一常数，则；,（3）设、均为随机变量，则；,（4）设、均为随机变量且相互独立，则,11.2.2随机变量函数的数学期望,设随机变量是随机变量的函数，且（为连续函数），那么,（1）若是离散型随机变量，其概率分布为且绝对收敛，则,（2）若是连续型随机变量，其密度函数为，且绝对收敛，则,例18设离散型随机变量的分布列为,求的数学期望,解,例19设随机变量服从参数为3的指数分布，求,解由题知的密度函数为,则,11.2.3方差,1方差概念,定义6设离散型随机变量的分布列为,如果存在，则称之为随机变量的方差，记为，即,并称为的标准差或根方差,我们经常使用下面的公式进行计算：,2常见的随机变量的方差,（1）两点分布,服从两点分布的随机变量，其数学期望为，而,因此,（2）二项分布,