数学分析 21--6

21.6重积分的应用,一、立体的体积,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,例1计算由曲面,及xoy面所围的立体,体积。,解,设立体在,第一卦限上的体积为V1。,由立体的对称性，所求立体体积V=4V1。,立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,它的底为,于是，,所求立体的体积,例2求两个圆柱面,所围,的立体在第一卦限部分的体积。,解,所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,它的底为,于是，立体体积为,例3求球体,被圆柱面,所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。,解,显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。,而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。,因此，若设第一卦限部分的体积为V1，则所求立体的体积为,V1可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,它的底D由半圆周,及x轴围成。,用极坐标系表示,于是，,所求立体体积,二、曲面的面积,设曲面的方程为：,如图，,-曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解,设第一卦限部分的面积为A1，则由对称性，所求的面积为,极坐标系下表示：,例5求两个圆柱面,所围,的立体的表面在第一卦限部分的面积A。,解,所求表面分成和，如图。,第一块（）在圆柱面,第一块（）在圆柱面,由对称性，这两块曲面的面积相等，即A=A。,因此，A=2A。,在A上，曲面方程为,A,A,A,A,于是所求面积，A=2A,由静力学的知识可知，这个质点组的质心坐标有如下的计算公式：,三、物体的重心,设为一块可以度量的几何体，它的密度函数为,设在上连续，要求的质心坐标。,我们打算用质点组的质心坐标的公式来计算，但质点组是离散分布的，而是质量连续分布的几何体。因此，首先把分划成若干可度量的小块：,为了简化符号，也用表示小块的度量。,若这些小块分得充分小，每一个小块可近似地看作一个点，于是可近似地看作一个质点组，从而可用质点组的质心坐标公式来近似计算的质心坐标。,为此先计算每一个小块的质量，由于密度函数不是常数，即的密度分布不是均匀的，因此不能简单地用密度均匀分布的物体的质量的计算公式：密度度量，来计算。,由于假设连续，因此当比较小时，在上变化不大，于是可近似地看成不变，从而的度量可近似计算为,这里是中的任意一点，设其在三维空间中的坐标为，于是几何体的质心坐标可近似表示为,当然这个质心坐标只能是近似的，如果分得小一些近似程度就要好些，因此在上式中让每一个的直径趋于零取极限，把极限值定义为的质心坐标。于是令,让，取极限得,上述和式的极限，正是我们在第九章第一节定义的黎曼积分，因此，得到,这里,如果几何体是三维空间中的一块立体，则上述积分就是三重积分，从而质心坐标可表示为,如果几何体是一块平面区域，则上述积分就是二重积分；如果几何体是一块空间曲面，上述积分就成为第一型曲面积分；如果几何体是一条曲线，上述积分就成为第一型曲线积分。,解,例6设由上半球面和锥面（以轴为轴，半顶角为）围成的均匀立体，求的质心。,而,于是,平面薄片的重心,当薄片是均匀的，重心称为形心.,由元素法,闭区域D的面积,解,薄片对z轴上单位质点的引力,G为引力常数,四、平面薄片对质点的引力,解,由积分区域的对称性知,所求引力为,五、矩,设为一块可以度量的空间立体，它的密度函数在上连续，分别称,为物体关于坐标平面，坐标平面，坐标平面的阶矩。,其中当的情形更为重要。,当时称为零阶矩，表示物体的质量。,当时称为静矩，静矩与物体质量之比为该物体的质心的坐标。,当时称为转动惯量。,又分别称,为物体关于轴，轴，轴的转动惯量。,显然有,其中分别表示物体关于坐标平面，坐标平面，坐标平面的转动惯量。,例9计算由平面所围成的均匀物体（设）对于坐标平面的转动惯量,解,是一个直角三角形，两直角边的长度分别为,所以,