孙炳达版 《自动控制原理》第3章 控制系统的时域分析法-3

自动控制原理,第三章控制系统的时域分析法,3.3二阶系统分析,3.3二阶系统分析,定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。,在分析和设计自动控制系统时，常常把二阶系统的响应特性视为一种基准。,在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特征具有非常重要的实际意义。,3.3二阶系统分析,一、二阶系统数学模型的标准式,例位置随动系统原理图,3.3二阶系统分析,对应的系统结构图：,经简化后，得到系统的开环传递函数和闭环传递函数分别为：,3.3二阶系统分析,由此可见，随动系统是一个二阶系统。为了使系统分析更具普遍意义，在上式中，令,可得二阶系统开环和闭环传递函数的典型数学模型（标准式），为,式中，为固有频率，为阻尼比（相对阻尼系数）。,3.3二阶系统分析,二阶系统的动态结构图如下：,以上结构图也称为典型二阶系统的结构图（标准形式）。,3.3二阶系统分析,二、典型二阶系统的单位阶跃响应,在初始条件为零下，输入为单位阶跃信号时，输出的拉氏变换式为：,系统特征方程：,特征方程的根：,显然，特征根完全取决于n和有关。,3.3二阶系统分析,1、无阻尼（=0）情况,系统特征根为：,阶跃响应为：,表明，无阻尼时二阶系统的单位阶跃响应为等幅振荡曲线，为不衰减的振荡，超调量为100%，系统不稳定。,3.3二阶系统分析,2、欠阻尼（01）情况,系统特征根为：,阶跃响应为：,响应曲线包含两个衰减指数函数，与特征根相对应。,3.3二阶系统分析,二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调量，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。过阻尼系统没有振荡，没有稳态误差。,衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；,3.3二阶系统分析,过阻尼的二阶系统与一阶系统，单位阶跃响应对比：,3.3二阶系统分析,不同阻尼比时的二阶系统单位阶跃响应如下：,3.3二阶系统分析,二阶系统单位阶跃响应特点：,1、二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：,1）=0时，等幅振荡；2）01时，有振荡,愈小，振荡愈严重，但响应愈快；3）1时，无振荡、无超调，过渡过程长。,3.3二阶系统分析,2、阻尼比一定时，n越大，系统衰减越迅速，能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,3.3二阶系统分析,3、实际工程系统只有在01时才具有现实意义。除了一些不允许产生振荡的应用，阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。,特别的，把=0.707的二阶系统称为二阶最优系统。,3.3二阶系统分析,三、欠阻尼二阶系统的动态性能指标,单位阶跃响应：,单位阶跃响应曲线：,3.3二阶系统分析,1上升时间tr,阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。,此时，,即，,由,解得,3.3二阶系统分析,2峰值时间tp,单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。,由,解得,3.3二阶系统分析,3超调量%,单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。,根据定义，,在单位阶跃述如下，,所以,3.3二阶系统分析,4调节时间ts,单位阶跃响应进入误差带的最小时间。,采用近似方法解得：,或,3.3二阶系统分析,结构参数对单位阶跃响应性能的影响阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；=0.707，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称=0.707为最佳阻尼比。若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的和n。n增大可使ts下降，可以通过提高开环放大系数k来实现；增大阻尼比，可减小振荡，可通过降低开环放大系数实现。,3.3二阶系统分析,欠阻尼二阶系统动态指标总结,上升时间：,峰值时间：,调节时间：,超调量：,3.3二阶系统分析,例有一位置随动系统，结构图如下，其中K=4。（1）求该系统的自然振荡角频率和阻尼比；（2）求该系统的超调量和调节时间；（3）若要阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大倍数K？,3.3二阶系统分析,解（1）系统的闭环传递函数为，,写成标准形式，为,所以有,3.3二阶系统分析,（2）超调量和调节时间分别为，,（3）要求=0.707时，,3.3二阶系统分析,例设系统如图所示，若要求系统具有性能指标%=20%和tp=1，试确定系统的参数，并计算K、tr和ts。,3.3二阶系统分析,解系统的闭环传递函数为：,3.3二阶系统分析,3.3二阶系统分析,例设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA1500，200，13.5时，输出响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量%，并分析比较之。,解系统的闭环传递函数为：,3.3二阶系统分析,当KA1500时,与标准的二阶系统传递函数对照得：,3.3二阶系统分析,当KA200时,与标准的二阶系统传递函数对照得：,3.3二阶系统分析,当KA13.5时,与标准的二阶系统传递函数对照得：,无,3.3二阶系统分析,不同开环增益下的系统单位阶跃响应：,3.3二阶系统分析,例下图分别为具有反馈系数为的负反馈二阶控制系统，和单位阶跃响应特性，试确定系统参数、K和T。,3.3二阶系统分析,解闭环系统传递函数为：,解得,解得,解得,输出信号稳态值为：,由：,由：,由：,所以=0.2。,3.3二阶系统分析,四、提高二阶系统动态性能的方法,1、比例-微分串联（PD）校正,未加校正网络前：,3.3二阶系统分析,加校正网络后：,校正后的传递函数和等效阻尼系数：,可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。,3.3二阶系统分析,3.3二阶系统分析,由校正后的传递函数：,可把系统结构图等效为：,由此可得：,c1(t)和c2(t)及c(t)的大致形状如下,一方面，增加项，增大了等效阻尼比1，使c1(t)曲线比较平稳。另一方面，它又使c1(t)加上了它的微分信号c2(t)，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比1的平稳作用。,3.3二阶系统分析,总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数。若大一些，使c1(t)具有过阻尼的形式，而闭环的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。,3.3二阶系统分析,3.3二阶系统分析,2、输出量微分负反馈并联校正,未加校正网络前：,3.3二阶系统分析,加校正网络后：,校正后的等效阻尼系数,该校正方法也称输出量的速度反馈校正。,从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。,3.3二阶系统分析,两种校正方