李贤平概率论基础 2.3

2.3伯努利试验与直线上的随机游动,Ch2：条件概率与统计独立性,3伯努利试验与直线上的随机游动,一、伯努利概型,三、直线上的随机游动,二、伯努利概型中的一些分布,一、伯努利概型,如果随机试验E只有两个可能的结果，如:掷一枚硬币，只出现“正面”或“反面”；考察一条线路，只有“通”与“不通”；传递一个信号，只有“正确”与“错误”；播下一颗种子，了解它“发芽”与否；观察一台机器“开动”与否这种随机试验称为伯努利(Bernoulli)试验.,伯努利试验,有时试验的可能结果虽有多种，但如果只考虑某事件A发生与否，也可作为伯努利试验.例如抽检一个产品，虽有各种质量指标，但如果只考虑合格与否，就是伯努利试验.此时，事件域可取为：,则称E为Bernoulli试验,n重伯努利试验（记作En):n次独立重复的伯努利试验.,n重伯努利试验,n重伯努利试验的特点:每次试验最多出现两个可能结果之一A在每次试验种出现的概率p保持不变各次试验相互独立共进行了n次试验,n重伯努利试验的样本空间：,可列重伯努利试验（记作E）：样本点w=(w1,w2,.,wn,.)样本点个数不可列,无限样本空间。,可列重伯努利试验,二伯努利概型中的一些分布,只进行一次伯努利试验概率分布为:,1.伯努利分布,这种概率分布称为伯努利分布伯努利概型中最简单的情形也称两点分布,例1200件产品中,有190件合格品,10件次品,现从中随机抽取一件,令A表示取得次品，则：,此为两点分布.,“掷硬币”、“婴儿性别”等试验均为两点分布.,在n重Bernoulli试验中,事件A恰好发生k次的概率记为，则,2.二项分布,称b(k;n,p)决定的概率分布为二项分布。,例2、设一批产品中有a件是次品,b件是正品.现有放回地从中抽取n件产品.求:事件A=n件产品中恰有k件次品的概率其中，k=0,1,2,n.,解:属于n重伯努利分布,且：,例3:某病的自然痊愈率为0.25，某医生为检验某种新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给10个病人服用，如果这10人中至少有4个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效求：新药有效，并且把痊愈率提高到0.35，但通过试验却被否定的概率新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率,分析：此为10重伯努利试验，令A痊愈,（2）药物本身无效时，,（1）药物本来有效的情况下，,令k痊愈的人数，“被否定”=“k=0,1,2,3”,课堂练习：设一批产品中有30的产品是一级品.现对该产品中进行重复抽样检查,共取5个样品。求：(1)取出的5个样品中恰有2个一级品的概率(2)取出的5个样品中至少有2个一级品的概率,(1),解:,(2),A:“5个样品中至少有2个一级品”,在伯努利试验中，“事件A在第k次才首次出现”的概率,记为：，显然：,3.几何分布,例4、一个人要开门，共有n把钥匙，其中仅有一把钥匙能开门，这人在第s次试开时才首次成功的概率是多少,分析：可列重伯努利试验p=1/n第s次才首次成功的概率：g(s;1/n)=1/n(n-1)/ns-1,相继的伯努利试验中，要多长时间才会出现第r次成功记Ck=第r次成功发生在第k次记f(k;r,p)=P(Ck)Ck=前k-1次成功r-1次,且第k次成功，则：,称f(k;r,p)为帕斯卡分布，当r=1时,即为几何分布,4.帕斯卡分布,例5、分赌注问题,甲、乙两赌徒按某种方式下注赌博，先胜t局者将赢得全部赌注，但进行到甲胜r局、乙胜s局(rt,st)时，因故不得不中止。试问如何分配这些赌注才公平合理？,建议：用r:s来分配用最终甲乙取胜的概率P甲:P乙来分配,分析：,甲若想获胜，需要再胜n=t-r局乙若想获胜，需要再胜m=t-s局记A=每局中甲获胜,P(A)=p,P(Ac)=q甲获胜，当且仅当：甲再胜n局时，乙再胜的局数k=n)试验：,显然:再赌n+m-1局可以决定胜负,甲若想获胜,必须在n+m-1局中胜n次，由二项分布:,例6、巴拿赫火柴问题：两盒火柴，各装n根,每次抽烟时任取一盒用一根，求发现一盒用光时，另一盒有k根的概率。,看作p=1/2的伯努利试验。一盒取过n+1次而另一盒取过n-k次：,由对称性，所求概率为：,5推广的伯努利试验与多项分布,二项分布的推广,n次重复独立试验每次实验有多个可能结果,记每次实验的所有可能结果为：,由此概率确定的分布称为多项分布，r=2时，退化为二项分布,三、直线上的随机游走,无限制随机游动,假定质点的初始位置在原点。,两端带有吸收壁的随机游动,特别有,注意对该式令用洛比达法则求极限也可以获得,例7、赌徒输光问题,甲乙赌本分别为a元及b元，每局赌注为1元，甲获胜的概率为p，试求甲输光的概率。,分析：可看成两端带有吸收壁的随机游动模型。以Pa记甲从a出发而在0点被吸收（赌本输光），赢一局看成向右走一步，输一局看成向左走一步，则：,注解：若ab，则不管甲赢一局的概率是多少，都终输光。,平面上的随机游动,一质点从平面上某点出发，等可能地向上下左右方向移动，每次移动的距离为1，求经过2n次移动后回到出发点的概率,分析：从某点出发，向上下左右四个方向移动的概率均为1/4，可以归结为多项分布的问题。,若要在2n次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数(k)与向右移动的次数应该相等，向