控制工程基础第2章

,第二章系统的数学模型,学习要求,掌握用分析方法建立物理系统数学模型的过程；,掌握结构图化简和简单梅逊公式求系统的传递函数；,了解一、二阶线性系统微分方程的标准形式；,掌握传递函数的定义、求法、典型环节的传递函数描述；,了解MATLAB软件对线性系统建模和分析方法。,学习内容,一、概述,对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。,分析法,根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录其输出响应。,实验法,建立系统数学模型的方法,线性系统,可以用线性微分方程描述的系统,线性是指系统满足叠加原理，即,可加性,齐次性,非线性系统,用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。,在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非线性关系，可进行如下处理：,线性化；,忽略非线性因素；,用非线性系统的分析方法。,线性系统和非线性系统的判别,设某系统的微分方程,线性定常系统：方程的系数an,bm是常数；,线性时变系统：an,bm是时间的函数；,非线性系统：an,bm中只要有一个系数依赖于xo(t)和xi(t)或它们的导数，或者在微分方程中出现其它函数形式。,例,，其中a,b,c,d均为常数。,例,判断下列微分方程表达的系统是线性系统还是非线性系统？,（3）,（2）,（1）,（4）,非线性,线性定常,线性时变,非线性,本课程涉及的数学模型形式,时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性,分析系统的工作原理和信号传递过程，确定元件或系统的输入量和输出量；从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程。注意负载效应。消去中间变量，推出只含输入、输出量及其导数的微分标准方程，即右端输入，左端输出，导数降幂排。,建立微分方程的步骤：,二、系统微分方程的建立,机械系统微分方程的列写,机械系统中部件的运动有直线和转动两种，系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。列写微分方程通常牛顿第二定律。即：物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，且加速度与合外力方向相同F=ma。,典型元件所遵循的物理定律,例,直线运动（机械平移系统）,输入量,输出量,o,C,电网络系统微分方程的列写,电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。（1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。（2）基尔霍夫电压定律：电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。,典型元件所遵循的物理定律,电阻,电容,电感,例,相似系统,若忽略系数的物理意义，则机械位移系统和电网络系统的数学模型具有相同的形式，这种系统叫做相似系统，揭示了不同物理现象之间的相似关系。,从动态性能看，在相同形式的输入作用下，相似系统输出的响应相似。,小结,物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。,通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数。,系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。,三、拉普拉斯变换,拉普拉斯变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。,设时间函数f(t)满足狄里赫利条件，其中则f(t)的拉氏变换，记作,L：拉氏变换符号；s：复变量；f(t)：原函数；F(s)：f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。,拉氏变换的定义,将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程,拉氏反变换的定义,典型时间函数的拉氏反换,2、单位脉冲函数,4、指数函数,5、正弦函数sint,欧拉公式,欧拉公式,若有常数k1、k2，函数f1(t)、f2(t)，且f1(t)、f2(t)的拉氏变换为F1(s)、F2(s)，则有,拉氏变换的性质,1、线性性质,若f(t)的拉氏变换为F(s)，则对任一正实数a有说明：当t0时，f(t)=0，f(t-a)：延时函数，表示f(t)延迟时间a。,拉氏变换的性质,2、延迟定理,若f(t)的拉氏变换为F(s)，对于任一常数a（实数或复数），有,拉氏变换的性质,3、复数域的位移定理,设f(t)的拉氏变换为F(s)，则其中f(0)是函数f(t)在自变量t=0的值，即初始值。,可推广到n阶,当初始条件为0时，即,则有,4、微分定理,设f(t)的拉氏变换为F(s)，当初始条件为0时，则,5、积分定理,设原函数f(t)的拉氏变换为F(s)，则时间函数f(t)的初值定理为,例：已知，求f(0),拉氏变换的性质,6、初值定理,设原函数f(t)的拉氏变换为F(s)，则时间函数f(t)的稳态值为,例：已知，求f(),此定理在稳态误差中常用。,拉氏变换的性质,7、终值定理,设f(t)的拉氏变换为F(s)，g(t)的拉氏变换为G(s)，则有式中称为f(t)与g(t)的卷积。,拉氏变换的性质,8、卷积定理,拉氏反变换的数学方法,已知象函数F(s)求f(t)时，简单的象函数，可直接查拉氏变换表，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为若干个简单的有理分式函数之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。,对于象函数F(s)，常可写成如下形式,部分分式展开法,零点,极点,F(s)总能展开成多个简单分式之和,1、F(s)无重极点的情况,待定系数,(2-40),(2-41),解：,例,求F(s)的拉氏反变换,设F(s)有r个重极点p1，其余极点均不相同，则,2、F(s)有重极点的情况,其中，,与单根求法相同,解：,例,求的拉氏反变换,本章作业,教材P63,2-1(c)(d)2-2(1)(2)2-3(1),传递函数,线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,传递函数的一般形式,设线性定常系统的微分方程,当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式,G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号和输出信号无关。,G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。,G(s)是复变量s的有理真分式函数，具有复变量函数的所有性质。,传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合单输入单输出系统的描述。,传递函数的主要特点,传递函数的零极点表达式,零点,极点,传递函数的零极点分布图,零点用“”表示,极点用“”表示,典型环节的传递函数,具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。,1、比例环节,输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。,运动方程：,拉氏变换：,传递函数：,2、惯性环节（非周期环节）,运动方程：一阶线性微分方程,传递函数：,K环节增益（放大系数）；T时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关。,例,惯性环节含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出的变化落后输入。,RC电路,3、微分环节,输出量正比于输入量的微分。,运动方程：,传递函数：,在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。,例,无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节。只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。,无源微分电路,4、积分环节,输出量正比于输入量对时间的积分。,运动方程：,传递函数：,特点：输出量取决于输入量对时间的累积过程；当输入消失，输出具有记忆功能。,齿轮齿条传动机构,积分运算电路,5、振荡环节,运动方程：,传递函数：,含有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，导致输出带有振荡的性质。,T时间常数；,另一种常用的标准形式,例,质量-弹簧-阻尼系统,运动方程：,传递函数：,式中，,6、延迟环节（传输滞后环节）,注意：延迟环节与惯性环节的区别。,运动方程：,传递函数：,输出滞后输入时间，但不失真地反映输入，延迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。,惯性环节从输入开始时刻就已有输出，由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；,延迟环节从输入开始，在0时间内，没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,例,测量轧制钢板的厚度,运动方程：,拉氏变换：,传递函数：,说明,典型环节不是具体的元件，是表示元件或系统运动特性的数学模型。同一个元件取不同的信号作为输入量或输出量、或用于不同的系统，可能形成不同的典型环节。,练习,（1）齿轮副中，若以主动轮角速度为输入，以被动轮转角为输出，则该装置为环节。,积分,（2）关于传递函数的特点，不正确的是。A、与具体的物理结构无关B、反映控制系统的传输和响应特性C、与输入信号有关D、只适用于单输入单输出系统的描述,C,系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系、功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。,方框图,方框图表示系统的优点,只要依据信号的流向，将各环节的方框连接起来，便可组成整个系统，简便、直观，更容易求解系统的传递函数。通过系统框图，可揭示和评价每一个环节对系统的影响。,信号引出点（线）：表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,函数方框（环节）：方框代表一个环节，箭头代表输入输出。函数方框具有运算功能。,信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。,求和点（比较点、综合点）：两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。,方框图的结构要素,（1）相加减的量必须具有相同的量纲；,注意,（2）求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。,串联连接,并联连接,反馈连接,特点：前一环节的输出量是后一环节的输入量。,（1）串联连接,结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。,特点：各环节的输入信号是相同的，输出C(s)为各环节的输出之和。,（2）并联连接,结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。,（3）反馈连接,误差传递函数,前向通道传递函数,反馈通道传递函数,开环传递函数,(2-79),(2-81),(2-80),(2-82),方框图求传递函数的基本思路,为了研究方便，常对系统方框图作一些变换，方框图化简求系统传递函数的基本思路是：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。,求和点的移动,交换求和点,合并求和点,引出点的简化,例,求下列所示系统的传递函数,A点前移,系统的传递函数为,六、信号流图及梅逊公式,对于复杂的控制系统，方块图的简化过程较复杂，易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。,节点,支路,通路,连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。,表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。,沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。,信号流图的基本性质,节点标志系统的变量。节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号代数和，从同一节点流出的信号均用该节点变量表示。,支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。,信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。,对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。,输入节点,只有输出的节点，代表系统的输入变量。,输出节点,只有输入的节点，代表系统的输出变量。,混合节点,既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可变为输出节点。,前向通路,信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用Pk表示。,回路,不接触回路,起点与终点重合，且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。,相互间没有任何公共节点的回路。,方框图与信号流图比较,方框图的组成,方框,信号线,求和点,-乘法运算,-标记信号名称,Xo(s)=G(s)Xi(s),信号流图的组成,支路,节点,-乘法器,-标记信号名称,G(s),Xi(s),Xo(s),例,绘制系统结构图对应的信号流图。,（1