第4章 组合数学_第1页
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文档简介

4.1排列、组合,一、加法规则和乘法规则,1、加法规则,也可叙述为：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A或事件B”有m+n种产生方式。,2、乘法规则,也可表述为：若事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A与事件B”有mn种产生方式。,例1求比10000小的正整数中含有数字1的数的个数。,二、排列与组合,按照元素的排列方式，排列分：线排列、圆排列和重排列三类。,1、线排列,例2将具有9个字母的单词FRAGMENTS进行排列，要求字母A总是紧跟在字母R的右边，问有多少种这样的排法？,解：A紧跟在字母R的右边，可以把这样的排列看作是8个元素的集合F，RA，G，M，E，N，T，S的全排列。所以个数为：P(8,8)=8!=40320。,2、圆排列,例34男4女围圆桌交替就座有多少种方式？,三、组合,按照选择元素可否重复，组合可分为非重组合和重组合。,1、非重组合,几个等式,例4数510510能被多少个不同的奇数整除？,4.2鸽笼原理与容斥原理,一、鸽笼原理,鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理，也叫抽屉原理。即,定理如果有n+1个物体放到n个盒子中，则至少有一个盒子中放有两个或更多的物体。,例1367人中至少有人的生日相同。,例210双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对的。,例3把5个点放到边长为1的正方形中，至少存在两个点之间的距离小于等于,DeMorgan(德.摩根)定理,二、容斥原理,设A,B为两个有限集合，易知A与B的元素的个数为,定理1设为有限集合，则,例4求从1到1000的整数中不能被5,6,和8中任何一个整除的整数个数.,三、错排问题,四、有限制的排列,1、棋子多项式,例7四对夫妇前来参加宴会，围圆桌而坐，男女相间，夫妇不相邻，问有多少种入座方式？,4.3母函数,母函数又称发生函数或生成函数，是组合论中求解计数问题的重要工具之一。如有限制条件的组合或排列个数，解递推关系等等。,一、普通母函数,例如是1,1
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