第一章量子力学基础王荣顺 版

第一章量子力学基础,Chapter1.IntroductiontoQuantumMechanics,2020/4/30,目录,量子力学产生的背景,量子力学基本原理,量子力学基本原理的简单应用,2,3,2020/4/30,第一章量子力学基础,【教学要求】1.掌握微观粒子的基本特征-能量量子化和波粒二象性。2.理解量子力学的五个基本假设。3.掌握波函数的物理意义，掌握波函数的条件和性质。4.掌握算符的定义、线性算符和轭米算符的定义和性质。5.理解本征方程、本征态和本征值等概念，推引定态薛定谔方程。6.理解态叠加原理。,2020/4/30,7.掌握保里原理的概念，理解保里原理的实质。8.建立一维势箱的薛定谔方程，掌握求解薛定谔方程的过程。【重点、难点】1.重点:实物粒子的能量量子化和波粒二象性；波函数的意义及波函数的条件；一维箱中粒子的处理方法和过程。2.难点：波函数的物理意义；轭米算符及薛定谔方程。,第一章量子力学基础,一、经典物理学的困难与旧量子论的诞生,二、实物微粒波的波粒二象性,三、不确定关系,主要内容,1.1量子力学产生的背景,第一章量子力学基础,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,问题产生：,经典物理学,微观粒子的运动,黑体辐射,Newton力学Maxwell电磁场理论Gibbs热力学Boltzmann统计物理学,氢原子光谱,光电效应,一、经典物理学的困难与旧量子论的诞生,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,1.黑体辐射,黑体：能全部吸收照射到它表面上的各种波长辐射的物体。,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,1.黑体辐射,黑体：能全部吸收照射到它表面上的各种波长辐射的物体。,经典理论与实验事实间的矛盾经典电磁理论假定，黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的，按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。,黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。,图1.1黑体辐射分布曲线,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,Rayleigh-Jeans把分子物理学中能量按自由度均分原则(能量连续)用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。Wien假定辐射波长的分布与Maxwell分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。,经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,经典物理学解释：能量是连续变化的。,普朗克解释：1900年，PlanckM（普朗克）假定，黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为,能量为h的整数倍的电磁能，即黑体只能不连续地以0的整数倍一份一份地吸收或发射辐射能量。,提出新的理论：能量量子化,Planck常数：h=6.62310-34JS,不能解释,h称为能量子(quantumofenergy),1918年，诺贝尔物理学奖,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,2.光电效应(photoelectriceffect),光电效应:光照在金属表面上，使金属发射出电子的现象。,1889年,斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(左图G为电流表,C为阴极),因光的作用而逸出的电子称为光电子，光电子的定向运动所形成的电流称为光电流。,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,光电效应的实验结果:只有当照射光的频率超过某个最小频率v时金属才能发射光电子，不同金属的v值也不同。从光照到产生光电流的时间很短，一般不超过10-9s。光电子的最大初动能正比于照射频率v与临域频率v0的差值，而与光照强度无关。在单位时间里从金属表面脱出的光电子数与入射光强度成正比。,经典理论不能解释光电效应：经典理论认为，光波的能量与其强度成正比，而与频率无关；只要光强足够，任何频率的光都应产生光电效应；光电子的动能随光强增加而增加，与光的频率无关。与实验事实正好相反。,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,1905年，Einstein在Planck能量量子化的启发下，提出光子说：,爱因斯坦(Einstein)光子学说,(1)光的能量是不连续的，也是量子化的。其最小单位称为一个光量子或简称光子，光子的能量为,(2)光为一束以光速c运动的光子流，其强度I正比于单位体积内光子的数目即光子的密度,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,(4)光子有一定的动量：,(5)光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒定律。,(3)光子有一定的质量：,光子的质量与光的频率或波长有关。注意：光子没有静止质量。,光子学说对光电效应的解释,只有hvW,即vv0时，才能产生光电效应。,体现光的波粒二象性,电子逸出功,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,3.氢原子光谱的不连续性,微观世界中状态量子化的另一证据是原子的线状光谱。早在1884年，Balmer已将当时已知的可见区14条氢谱线总结成经验公式（后被J.R.Rydberg表示成如下的波数形式）,并正确地推断该式可推广之(式中n1、n2均为正整数):,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,20世纪初，F.Paschen(1908年)、F.S.Brackett(1922年)、H.A.Pfund(1924年)等在红外区,Lyman(1916年)在远紫外区发现的几组谱线，都可用下列一般公式表示:,2020/4/30,氢原子能级示意图与氢光谱,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,1913年，玻尔(Bohr)综合了普朗克的量子论、爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出：,（1）原子存在于具有能量的稳定态（简称定态），定态中的原子不能辐射能量。能量最低的定态叫基态，其余叫激发态。（2）只有当电子从一个态（如E2）跃迁到另一定态（E1）时，才发射或吸收辐射能。其频率满足于,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,由Bohr模型,结合经典力学运动定律,可解出Rydberg常数的理论值，进而计算各已知线系波数.结果与实验值相当符合.,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,【例】计算波长等于600nm的可见光的光子的能量和质量.,解：已知光速c=3108ms-1普朗克常数h=6.626210-34Js,1J=1kgm2s-2。,=3.3110-19J,=3.6810-36kg,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,二、实物微粒波的波粒二象性,1.DeBroglie(德布罗意）假设：,1924年，DeBroglie受光的波粒二象性启发，提出实物微粒（静止质量不为零的粒子，如电子、质子、原子、分子等）也有波粒二象性。,DeBroglie波的传播速度为相速度u,不等于粒子运动速度v;它可以在真空中传播，因而不是机械波；它产生于所有带电或不带电物体的运动，因而也不是电磁波。,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,De.Broglie波的实验证实,1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用薄膜透射法证实了物质波的存在,用德布罗意关系式计算的波长与布拉格方程计算结果一致.,1929年,DeBroglie获诺贝尔物理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖。,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,De.Broglie波的统计解释及波粒二象性的统计联系,一个粒子不能形成一个波，当一个粒子通过晶体到达底片上，出现的是一个衍射点，而不是强度很弱的衍射图象。但是从大量的微观粒子的衍射图象，可揭示出微观粒子运动的波性和这种波性的统计性，这个重要的结论适用于各个原子或分子中电子的行为。原子和分子中的电子其运动具有波性，其分布具有几率性。原子和分子的运动可用波函数描述，而电子出现的几率密度可用电子云描述。,2020/4/30,deBroglie波不仅对建立量子力学和原子、分子结构理论有重要意义，而且在技术上有重要应用.,使用deBroglie波的电子显微镜分辨率达到光学显微镜的千倍,为我们打开了微观世界的大门.,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,【例】在一束电子中,电子的动能为200eV,求电子的德布罗意波的波长。,解：已知电子质量m=9.1110-31kg,1eV=1.6010-19J,=8.40106ms-1,=0.86710-10m=0.087nm,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,三、不确定关系(uncertaintyprinciple),1927年W.Heisenberg首先提出:具有波动性的微粒，不能同时有精确确定的坐标和动量。当它的某个坐标被确定得愈精确，则其相应的动量就愈不确定，反之亦然。满足关系式：,以子弹和电子在原子中运动为例，看出可以用测不准关系来判断研究对象是否可以用经典力学来处理。,2020/4/30,1.1量子力学产生的背景,【例】（1）质量为0.01kg的子弹，运动速度为1000ms-1，若速度的不确定程度为其运动速度的1%，则其位置的不确定程度为：,可以用经典力学处理。,（2）运动速度为1000ms-1的电子，若速度的不确定程度为其运动速度的1%，则其位置的不确定程度为：,远远超过在原子和分子中的电子离原子核的距离，不能用经典力学处理。,一、波函数和微观粒子的状态,二、力学量和算符,三、量子力学的基本方程,主要内容,1.2量子力学基本原理(公理）,四、态叠加原理,五、泡利原理,2020/4/30,1.2量子力学基本原理(公理）,假设I对一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数(x,y,z,t)来表示。是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间函数。,一、波函数和微观粒子的状态,定态波函数：不含时间的波函数(x,y,z,)称为定态波函数。（即波函数的形式不随时间而改变）,例如：三粒子体系=（x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,t）,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,一般是复数形式：=f+ig,由于*=（f+ig)(fig)=f2+g2因此*是实数，而且是正值。为书写方便，常用2代替*。,的共轭复数*:*=f-ig,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于*，所以通常将用函数描述的波称为几率波。,在原子、分子等体系中：称为原子轨道或分子轨道；*称为几率密度，它就是通常所说的电子云；*d为空间某点附近体积元d中电子出现的几率。,2020/4/30,单值的即在空间每一点只能有一个值；连续的即的值不出现突跃；对x，y，z的一级微商也是连续函数；有限的（平方可积的）即在整个空间的积分为一个有限数，通常要求波函数归一化，即,1.2量子力学基本原理,用量子力学处理微观体系时，要设法求出函数的具体形式。,例如氢原子1s态的波函数：,波函数必须满足三个条件,符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优波函数。,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,算符：对某一函数进行运算操作，规定运算操作性质的符号。例如：sin,cos,log,exp等.,二、力学量和算符,假设II对一个微观体系的每一个可观测的力学量都对应着一个线性自轭算符。,数学运算、矩阵运算、旋转等操作,线性算符：指算符满足下列条件,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,自轭算符：指算符能满足,或,对算符的厄米性要求来源于物理量平均值必须是实数.在量子力学中,物理量A的平均值用下列公式计算:,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,若干力学量及其算符,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,三、量子力学的基本方程,假设若某一力学量的算符作用于某一状态函数后，等于某一常数a乘以，即那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量具有确定的值a,a称为力学量算符的本征值，称为的本征态或本征波函数，而该方程则称为的本征方程。,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,一个保守体系的总能量E在经典力学中用Hamilton（哈密顿）函数H表示，即,将算符形式代入，得,能量算符,其中,称为Laplace算符,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,利用能量算符，得到,上式即为Schrdinger方程，它是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程，是量子力学的一个基本方程。当体系的势能项V中，不含时间变量t，体系的势能不随时间变化（亦即体系的哈密顿量不随时间变化），这种状态称为定态。这个本征态对应的本征值，就是该状态的能量。该波函数称为定态波函数。(本课程只讨论定态),2020/4/30,1.2量子力学基本原理,对一个微观体系，自轭算符给出的本征函数组1，2，3，形成一个正交、归一的函数组。,归一性：,指粒子在整个空间出现的几率为1.,正交性：,(ij),例如，同一原子的各原子轨道（描述原子内电子运动规律的波函数）间不能形成有效重叠。,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,四、态叠加原理,假设IV若1，2，n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合得到的也是该体系可能存在的状态。式中c1,c2,，cn为任意常数。系数c1,c2,cn等数值的大小，反映决定的性质中i的贡献；ci2越大，相应i的贡献越大。,2020/4/30,1.2量子力学基本原理,五、泡利原理,假设V在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。（或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。）,1925年，G.Uhlenbeck(乌仑贝克）和S.Goudsmit（哥希密特）提出电子自旋假设，认为电子具有不依赖于轨道运动的自旋运动，具有固定的角动量和相应的磁矩。,1.3量子力学基本原理的简单应用,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,为了说明量子力学处理问题的方法、步骤以及量子力学的一些概念，我们以一维势箱中的粒子为例，说明如何用量子力学来处理问题。,量子力学处理一个微观体系的基本步骤：根据体系的物理条件，写出它的能量(动能、势能)函数的形式；列出薛定谔方程；求出薛定谔方程满足条件的解，得到体系波函数和相应的能量；利用波函数和能量公式作出适当结论。,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,一维势箱模型,V(x)=0(0xl)V(x)=(x0 xl),根据薛定谔方程的表达式,(1)一维势箱中粒子的n(x),当x0 xl时,V(x)=,n(x)0,当0xl时，V(x)=0,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,对一维势箱，只有x,且V(x)=0,故有,(2)Schrdinger方程的解,上式变形为：,由此Schrdinger方程的表达式为,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,该式为二阶常系数线性微分方程，其解为：,由边界条件：,(0)c1cos0+c2sin0=0c1=0,这里常数c2不能为0，否则波函数(x)处处为0。,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,故必须是,（n=1,2,3,）,得,（n=1,2,3,）,所以,（n=1,2,3,）,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,用波函数的归一化条件,确定待定系数c2,得,得一维势箱内粒子运动状态的波函数和相应的能量公式:,（n=1,2,3,）,（n=1,2,3,）,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,(3)方程解的讨论,A：能量量子化E是对应n的值，是量子化的，而不是连续的。基态能量E1。能量状态由量子数n来表征。n=1,2,3,.n=1时为基态，n=2时为第一激发态，n=3时为第二激发态。E1=T1（零点能）,B：离域效应因n0，即粒子的动能不可能为零,粒子运动的空间越大，E越小，这种效应通常称为离域效应。,（n=1,2,3,）,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,【例】若将1个电子（m=9.110-31kg)和一个质量m=110-3kg的物体分别束缚在l=110-10和l=110-2m的一维势箱中运动，试分别计算它们的能级差En,En和零点能E1和E1，说明能量量子化和零点能效应是微观世界的特征。,解：,=(2n+1)6.0210-18J,=(2n+1)5.4910-61J,2020/4/30,1.3量子力学基本原理的简单应用,=6.0210-13J,=5.4910-61J,结果表明：对束缚在一维势箱中的电子来说，其能级间隔E已完全可以观察出来，能级分立现象明显；而对于质量m=110-3kg被束缚在l的一维势箱中运动的物体来说，其能级间隔E的值是如此的小，以至